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动态规划:打家劫舍系列

时间:2024-08-08 09:57:14浏览次数:14  
标签:动态 TreeNode nums 房间 偷窃 vector 系列 打家劫舍 dp

目录

1. 打家劫舍1(线性数组)(LeetCode198)

解法1:动态规划(二维dp数组)  

解法2:动态规划(一维dp数组) 

解法3:动态规划(一维dp数组优化) 

2. 打家劫舍2(环形数组)(LeetCode213)

3. 打家劫舍3(二叉树)(LeetCode337)


1. 打家劫舍1(线性数组)(LeetCode198)

题目描述https://leetcode.cn/problems/house-robber/description/

  • 题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?
    • 房间造型线性数组
    • 偷窃规则相邻的房间不能同时偷窃
  • 问题分析:当前房屋偷与不偷 取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。可见,当前状态和前面状态会有一种依赖关系,因此可以使用动态规划来求解。

解法1:动态规划(二维dp数组)  

解题思路:动态规划五部曲

  • Step1:确定dp数组(一维)/dp表格(二维)、下标的含义
    • dp[i][0]:第i个房间不被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i][0]
    • dp[i][1]:第i个房间被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i][1]
    • 每一个房间使用两个状态来表示
  • Step2:确定递推公式
    • dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1])    第i个房间不被偷 → 第i-1个房间可以不被偷,也可以被偷
    • dp[i][1] = dp[i-1][0] + nums[i]           第i个房间被偷 → 第i-1个房间一定不能被偷
  • Step3:初始化dp数组
    • 从递推公式可以看出,i是由i-1推导而来,因此需要初始化第一个元素
    • dp[0][0]:第0个房间不被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为0
    • dp[0][1]:第0个房间被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为nums[0]
  • Step4:确定遍历顺序
    • 从递推公式可以看出,i是由i-1推导而来,因此需要从前向后遍历 
  • Step5:打印dp数组(调试)
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>

class Solution
{
public:
    int rob(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        // Step3:初始化dp数组
        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = nums[0];

        // Step4:确定遍历顺序
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
        {
            // Step2:确定递推公式
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);  // 不被偷
            dp[i][1] = dp[i - 1][0] + nums[i];           // 被偷
        }
        return max(dp[nums.size() - 1][0], dp[nums.size() - 1][1]);
    }
};

int main()
{
    //vector<int> nums{ 1,2,3,1 };  // 4
    vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 };  // 12
    
    Solution s;
    int ans = s.rob(nums);

    cout << ans << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)  
  • 空间复杂度:O(n)

解法2:动态规划(一维dp数组) 

解题思路

  • Step1:确定dp数组(一维)/dp表格(二维)、下标的含义
    • dp[i]:考虑[0,i]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i]
    • 注意:此处仅仅是考虑第i个房间,并不一定偷窃第i个房间
  • Step2:确定递推公式
    • dp[i] 可以由以下两个方向推导而来
    • 偷第i个房间dp[i-2] + nums[i]   此时应该考虑i-2及其之前的房间,该区间内的所有房间都有被偷和不被偷的可能(i-1不能考虑)
      • 由于相邻房间不能同时偷窃 且 偷窃第i个房间,因此第i-1个房间一定不能偷窃
      • 考虑[0,i-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i-2] 加上 偷窃第i房间的钱
    • 不偷第i个房间dp[i-1]           此时应该考虑i-1及其之前的房间,该区间内的所有房间都有被偷和不被偷的可能
      • 若不偷第i个房间,则第i-1个房间可以被偷,也可以不被偷
      • 考虑[0,i-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i-1]
    • dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])
  • Step3:初始化dp数组
    • 从递推公式可以看出,i是由i-2和i-1推导而来,因此需要初始化前两个元素
    • dp[0]:仅考虑第0个房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额 → 偷窃第0个房间的金额
    • dp[1]:仅考虑第0个和第1个房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额 → 由于相邻房间不能同时偷窃,因此两者只能选其一进行偷窃,因此最高金额为两者的最大值
  • Step4:确定遍历顺序
    • 从递推公式可以看出,i是由i-2和i-1推导而来,因此需要从前向后遍历
  • Step5:打印dp数组(调试)
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>

class Solution 
{
public:
    int rob(vector<int>& nums) 
    {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        // Step3:初始化dp数组
        vector<int> dp(nums.size(), 0);
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

        // Step4:确定遍历顺序
        for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
        {
            // Step2:确定递推公式
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[nums.size() - 1];
    }
};

int main()
{
    //vector<int> nums{ 1,2,3,1 };  // 4
    vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 };  // 12
    
    Solution s;
    int ans = s.rob(nums);

    cout << ans << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)  
  • 空间复杂度:O(n)

解法3:动态规划(一维dp数组优化) 

解题思路:利用"状态压缩"进行优化 → 由于当前数值dp[i]仅依赖于前面两个数值dp[i-1]和dp[i-2],因此只需要维护两个数值 

class Solution
{
public:
    int rob(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        // Step3:初始化dp数组
        vector<int> dp(2);
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

        // Step4:确定遍历顺序
        for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
        {
            // Step2:确定递推公式
            int dpi = max(dp[1], dp[0] + nums[i]);
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dpi;
        }
        return dp[1];
    }
};

int main()
{
    //vector<int> nums{ 1,2,3,1 };  // 4
    vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 };  // 12
    
    Solution s;
    int ans = s.rob(nums);

    cout << ans << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)  
  • 空间复杂度O(1)

2. 打家劫舍2(环形数组)(LeetCode213)

题目描述https://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/description/

题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?

  • 房间造型环形数组,首尾两个房间为相邻房间
  • 偷窃规则相邻的房间不能同时偷窃

解题思路:针对首尾房间是否被偷,划分为以下几种情况,每种情况均可以使用"打家劫舍1"的代码求解

  • 首房间和尾房间为相邻房间,因此不能同时被偷(必须限定其中一个不被偷)
  • Case1首房间不被偷,尾房间不做限定  →  考虑[1, nums.size()-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
  • Case2尾房间不被偷,首房间不做限定  →  考虑[0, nums.size()-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>

class Solution 
{
private:
    // 该函数的代码与"打家劫舍1"完全相同
    int robRange(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        vector<int> dp(nums.size(), 0);
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

        for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
        }
        return dp[nums.size() - 1];
    }
public:
    int rob(vector<int>& nums) 
    {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);

        // Case1:首房间不被偷,尾房间不做限定  →  考虑[1, nums.size()-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
        vector<int> vec1(nums.begin() + 1, nums.end());
        int result1 = robRange(vec1);
        // Case2:尾房间不被偷,首房间不做限定  →  考虑[0, nums.size()-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
        vector<int> vec2(nums.begin(), nums.end() - 1);
        int result2 = robRange(vec2);

        return max(result1, result2);
    }
};

int main()
{
    vector<int> nums{ 2,3,2 };  // 3
    //vector<int> nums{ 1,2,3,1 };  // 4

    Solution s;
    int ans = s.rob(nums);

    cout << ans << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

小结:环形问题不利于思考,可以将环形展开为线性结构,单独考虑首尾元素是否选取,分情况讨论

3. 打家劫舍3(二叉树)(LeetCode337)

题目描述https://leetcode.cn/problems/house-robber-iii/description/

题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?

  • 房间造型二叉树
  • 偷窃规则相邻的房间不能同时偷窃 
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>

struct TreeNode
{
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode() :val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
    TreeNode(int x) :val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    TreeNode(int x, TreeNode* left, TreeNode* right) :val(x), left(left), right(right) {}
};

class Solution
{
private:
    // Step1:确定递归函数的参数和返回值
        // 返回值:长度为2的数组
            // 下标0:该节点的房间不被偷窃,能够盗取的最高金额
            // 下标1:该节点的房间被偷窃,能够盗取的最高金额
    vector<int> traversal(TreeNode* root)
    {
        // Step2:终止条件(初始化dp数组)
            // 对于空节点,无论偷还是不偷都是0
        if (root == NULL) return vector<int>{ 0,0 };

        // Step3:确定单层递归的逻辑(确定递推公式,确定遍历顺序 → 后序遍历)
        vector<int> dp_left = traversal(root->left);    // 左:递归左节点,得到左节点不被偷时所得到的最高金额dp_left[0]、左节点被偷时所得到的最高金额dp_left[1]
        vector<int> dp_right = traversal(root->right);  // 右:递归右节点,得到右节点不被偷时所得到的最高金额dp_right[0]、右节点被偷时所得到的最高金额dp_right[1]
        vector<int> dp(2);                              // 中
        // 当前节点不被偷:左右孩子被偷和不被偷均有可能
        dp[0] = max(dp_left[0], dp_left[1]) + max(dp_right[0], dp_right[1]);
        // 当前节点被偷:左右孩子不可能被偷,只可能是不被偷
        dp[1] = dp_left[0] + dp_right[0] + root->val;

        return vector<int>{dp[0], dp[1]};               // 返回当前节点的状态:{不偷当前节点得到的最大金钱,偷当前节点得到的最大金钱}
    } 
public:
    int rob(TreeNode* root) 
    {
        vector<int> result = traversal(root);
        return max(result[0], result[1]);
    }
};

int main()
{
    // 7
    //TreeNode* node1 = new TreeNode(3);
    //TreeNode* node2 = new TreeNode(2);
    //TreeNode* node3 = new TreeNode(3);
    //TreeNode* node4 = new TreeNode(3);
    //TreeNode* node5 = new TreeNode(1);
    //node1->left = node2;
    //node1->right = node3;
    //node2->right = node4;
    //node3->right = node5;

    // 9
    TreeNode* node1 = new TreeNode(3);
    TreeNode* node2 = new TreeNode(4);
    TreeNode* node3 = new TreeNode(5);
    TreeNode* node4 = new TreeNode(1);
    TreeNode* node5 = new TreeNode(3);
    TreeNode* node6 = new TreeNode(1);
    node1->left = node2;
    node1->right = node3;
    node2->left = node4;
    node2->right = node5;
    node3->right = node6;

    Solution s;
    int ans = s.rob(node1);

    cout << ans << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

标签:动态,TreeNode,nums,房间,偷窃,vector,系列,打家劫舍,dp
From: https://blog.csdn.net/weixin_39549734/article/details/140864099

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