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1. 打家劫舍1(线性数组)(LeetCode198)
题目描述:https://leetcode.cn/problems/house-robber/description/
- 题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?
- 房间造型:线性数组
- 偷窃规则:相邻的房间不能同时偷窃
- 问题分析:当前房屋偷与不偷 取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。可见,当前状态和前面状态会有一种依赖关系,因此可以使用动态规划来求解。
解法1:动态规划(二维dp数组)
解题思路:动态规划五部曲
- Step1:确定dp数组(一维)/dp表格(二维)、下标的含义
- dp[i][0]:第i个房间不被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i][0]
- dp[i][1]:第i个房间被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i][1]
- 每一个房间使用两个状态来表示
- Step2:确定递推公式
- dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]) 第i个房间不被偷 → 第i-1个房间可以不被偷,也可以被偷
- dp[i][1] = dp[i-1][0] + nums[i] 第i个房间被偷 → 第i-1个房间一定不能被偷
- Step3:初始化dp数组
- 从递推公式可以看出,i是由i-1推导而来,因此需要初始化第一个元素
- dp[0][0]:第0个房间不被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为0
- dp[0][1]:第0个房间被偷,一夜之内能够偷窃到的最高金额为nums[0]
- Step4:确定遍历顺序
- 从递推公式可以看出,i是由i-1推导而来,因此需要从前向后遍历
- Step5:打印dp数组(调试)
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
class Solution
{
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
if (nums.size() == 1) return nums[0];
if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
// Step3:初始化dp数组
vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(2, 0));
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = nums[0];
// Step4:确定遍历顺序
for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
// Step2:确定递推公式
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]); // 不被偷
dp[i][1] = dp[i - 1][0] + nums[i]; // 被偷
}
return max(dp[nums.size() - 1][0], dp[nums.size() - 1][1]);
}
};
int main()
{
//vector<int> nums{ 1,2,3,1 }; // 4
vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 }; // 12
Solution s;
int ans = s.rob(nums);
cout << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(n)
解法2:动态规划(一维dp数组)
解题思路:
- Step1:确定dp数组(一维)/dp表格(二维)、下标的含义
- dp[i]:考虑[0,i]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i]
- 注意:此处仅仅是考虑第i个房间,并不一定偷窃第i个房间
- Step2:确定递推公式
- dp[i] 可以由以下两个方向推导而来
- 偷第i个房间:dp[i-2] + nums[i] 此时应该考虑i-2及其之前的房间,该区间内的所有房间都有被偷和不被偷的可能(i-1不能考虑)
- 由于相邻房间不能同时偷窃 且 偷窃第i个房间,因此第i-1个房间一定不能偷窃
- 考虑[0,i-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i-2] 加上 偷窃第i房间的钱
- 不偷第i个房间:dp[i-1] 此时应该考虑i-1及其之前的房间,该区间内的所有房间都有被偷和不被偷的可能
- 若不偷第i个房间,则第i-1个房间可以被偷,也可以不被偷
- 考虑[0,i-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额为dp[i-1]
- dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])
- Step3:初始化dp数组
- 从递推公式可以看出,i是由i-2和i-1推导而来,因此需要初始化前两个元素
- dp[0]:仅考虑第0个房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额 → 偷窃第0个房间的金额
- dp[1]:仅考虑第0个和第1个房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额 → 由于相邻房间不能同时偷窃,因此两者只能选其一进行偷窃,因此最高金额为两者的最大值
- Step4:确定遍历顺序
- 从递推公式可以看出,i是由i-2和i-1推导而来,因此需要从前向后遍历
- Step5:打印dp数组(调试)
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
class Solution
{
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
if (nums.size() == 1) return nums[0];
if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
// Step3:初始化dp数组
vector<int> dp(nums.size(), 0);
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
// Step4:确定遍历顺序
for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
{
// Step2:确定递推公式
dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[nums.size() - 1];
}
};
int main()
{
//vector<int> nums{ 1,2,3,1 }; // 4
vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 }; // 12
Solution s;
int ans = s.rob(nums);
cout << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(n)
解法3:动态规划(一维dp数组优化)
解题思路:利用"状态压缩"进行优化 → 由于当前数值dp[i]仅依赖于前面两个数值dp[i-1]和dp[i-2],因此只需要维护两个数值
class Solution
{
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
if (nums.size() == 1) return nums[0];
if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
// Step3:初始化dp数组
vector<int> dp(2);
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
// Step4:确定遍历顺序
for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
{
// Step2:确定递推公式
int dpi = max(dp[1], dp[0] + nums[i]);
dp[0] = dp[1];
dp[1] = dpi;
}
return dp[1];
}
};
int main()
{
//vector<int> nums{ 1,2,3,1 }; // 4
vector<int> nums{ 2,7,9,3,1 }; // 12
Solution s;
int ans = s.rob(nums);
cout << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1)
2. 打家劫舍2(环形数组)(LeetCode213)
题目描述:https://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/description/
题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?
- 房间造型:环形数组,首尾两个房间为相邻房间
- 偷窃规则:相邻的房间不能同时偷窃
解题思路:针对首尾房间是否被偷,划分为以下几种情况,每种情况均可以使用"打家劫舍1"的代码求解
- 首房间和尾房间为相邻房间,因此不能同时被偷(必须限定其中一个不被偷)
- Case1:首房间不被偷,尾房间不做限定 → 考虑[1, nums.size()-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
- Case2:尾房间不被偷,首房间不做限定 → 考虑[0, nums.size()-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
class Solution
{
private:
// 该函数的代码与"打家劫舍1"完全相同
int robRange(vector<int>& nums)
{
if (nums.size() == 1) return nums[0];
if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
vector<int> dp(nums.size(), 0);
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
{
dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}
return dp[nums.size() - 1];
}
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
if (nums.size() == 1) return nums[0];
if (nums.size() == 2) return max(nums[0], nums[1]);
// Case1:首房间不被偷,尾房间不做限定 → 考虑[1, nums.size()-1]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
vector<int> vec1(nums.begin() + 1, nums.end());
int result1 = robRange(vec1);
// Case2:尾房间不被偷,首房间不做限定 → 考虑[0, nums.size()-2]以内的房屋,一夜之内能够偷窃到的最高金额
vector<int> vec2(nums.begin(), nums.end() - 1);
int result2 = robRange(vec2);
return max(result1, result2);
}
};
int main()
{
vector<int> nums{ 2,3,2 }; // 3
//vector<int> nums{ 1,2,3,1 }; // 4
Solution s;
int ans = s.rob(nums);
cout << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
小结:环形问题不利于思考,可以将环形展开为线性结构,单独考虑首尾元素是否选取,分情况讨论
3. 打家劫舍3(二叉树)(LeetCode337)
题目描述:https://leetcode.cn/problems/house-robber-iii/description/
题目简述:每间房内都藏有一定的现金(非负整数数组),问一夜之内能够偷窃到的最高金额?
- 房间造型:二叉树
- 偷窃规则:相邻的房间不能同时偷窃
#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
struct TreeNode
{
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode() :val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x) :val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x, TreeNode* left, TreeNode* right) :val(x), left(left), right(right) {}
};
class Solution
{
private:
// Step1:确定递归函数的参数和返回值
// 返回值:长度为2的数组
// 下标0:该节点的房间不被偷窃,能够盗取的最高金额
// 下标1:该节点的房间被偷窃,能够盗取的最高金额
vector<int> traversal(TreeNode* root)
{
// Step2:终止条件(初始化dp数组)
// 对于空节点,无论偷还是不偷都是0
if (root == NULL) return vector<int>{ 0,0 };
// Step3:确定单层递归的逻辑(确定递推公式,确定遍历顺序 → 后序遍历)
vector<int> dp_left = traversal(root->left); // 左:递归左节点,得到左节点不被偷时所得到的最高金额dp_left[0]、左节点被偷时所得到的最高金额dp_left[1]
vector<int> dp_right = traversal(root->right); // 右:递归右节点,得到右节点不被偷时所得到的最高金额dp_right[0]、右节点被偷时所得到的最高金额dp_right[1]
vector<int> dp(2); // 中
// 当前节点不被偷:左右孩子被偷和不被偷均有可能
dp[0] = max(dp_left[0], dp_left[1]) + max(dp_right[0], dp_right[1]);
// 当前节点被偷:左右孩子不可能被偷,只可能是不被偷
dp[1] = dp_left[0] + dp_right[0] + root->val;
return vector<int>{dp[0], dp[1]}; // 返回当前节点的状态:{不偷当前节点得到的最大金钱,偷当前节点得到的最大金钱}
}
public:
int rob(TreeNode* root)
{
vector<int> result = traversal(root);
return max(result[0], result[1]);
}
};
int main()
{
// 7
//TreeNode* node1 = new TreeNode(3);
//TreeNode* node2 = new TreeNode(2);
//TreeNode* node3 = new TreeNode(3);
//TreeNode* node4 = new TreeNode(3);
//TreeNode* node5 = new TreeNode(1);
//node1->left = node2;
//node1->right = node3;
//node2->right = node4;
//node3->right = node5;
// 9
TreeNode* node1 = new TreeNode(3);
TreeNode* node2 = new TreeNode(4);
TreeNode* node3 = new TreeNode(5);
TreeNode* node4 = new TreeNode(1);
TreeNode* node5 = new TreeNode(3);
TreeNode* node6 = new TreeNode(1);
node1->left = node2;
node1->right = node3;
node2->left = node4;
node2->right = node5;
node3->right = node6;
Solution s;
int ans = s.rob(node1);
cout << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
标签:动态,TreeNode,nums,房间,偷窃,vector,系列,打家劫舍,dp
From: https://blog.csdn.net/weixin_39549734/article/details/140864099