动态规划：删除并获得点数

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题目描述

思路

解题过程

复杂度

Code 

题目描述

        给你一个整数数组 nums ，你可以对它进行一些操作。每次操作中，选择任意一个 nums[i] ，删除它并获得 nums[i] 的点数。之后，你必须删除 所有 等于 nums[i] - 1 和 nums[i] + 1 的元素。开始你拥有 0 个点数。返回你能通过这些操作获得的最大点数。

示例 1：

输入：nums = [3,4,2]
输出：6
解释：
删除 4 获得 4 个点数，因此 3 也被删除。
之后，删除 2 获得 2 个点数。总共获得 6 个点数。

示例 2：

输入：nums = [2,2,3,3,3,4]
输出：9
解释：
删除 3 获得 3 个点数，接着要删除两个 2 和 4 。
之后，再次删除 3 获得 3 个点数，再次删除 3 获得 3 个点数。
总共获得 9 个点数。

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• 1 <= nums[i] <= 104

思路

动态规划

解题过程

1.统计每个数字的点数：

• 首先，使用一个哈希表 count 统计每个数字出现的次数，并计算每个数字对应的点数。

2.动态规划状态定义：

• 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示在数字 i 处获得的最大点数总和。

3.状态转移方程：

• 对于每个数字 i，有两种选择：
  • 选择当前数字 i：此时可以获得点数 i * count[i]，同时需要考虑前一个数字的最大点数，即 dp[i-2] + i * count[i]。
  • 不选择当前数字 i：则当前的最大点数为 dp[i-1]。
• 综合考虑，状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + i * count[i])。

4.边界条件：

• 数组中的数字范围在 [1, 10000]，所以需要定义一个足够大的数组 dp，以覆盖这个范围。

5.实现：

• 首先，统计每个数字出现的次数并初始化 dp 数组。
• 然后，根据上述状态转移方程计算 dp 数组的值。
• 最终，dp[10000] 即为所求的最大点数。

复杂度

• 时间复杂度：统计数字出现次数的操作是 O(n)，动态规划的状态转移是 O(max_num)，其中 max_num 是数组中的最大数字，因此总的时间复杂度是 O(n + max_num)。

• 空间复杂度：除了输入数组外，使用了一个大小为 max_num + 1 的数组 dp 和一个大小为 max_num + 1 的哈希表 count，因此空间复杂度是 O(max_num)。

Code 

class Solution(object):
    def deleteAndEarn(self, nums):
        if not nums:
            return 0
    
        max_num = max(nums)
        count = [0] * (max_num + 1)
    
        for num in nums:
            count[num] += num
    
        dp = [0] * (max_num + 1)
        dp[1] = count[1]
    
        for num in range(2, max_num + 1):
            dp[num] = max(dp[num-1], dp[num-2] + count[num])
    
        return dp[max_num]