SAM拾遗碎记

SAM是一个非常复杂的算法，相关到很多本质性的问题需要思考，但受限于个人能力，想要完整而系统的写一篇学习笔记，对我来说绝非易事。虽然如此，又不能完全不写点什么，我上次好不容易学完了sam，这次又再一次花了很长的时间，并且还是在之前有所记录的情况下。正是因为sam是如此难的一个算法，每一次新的领悟和理解都是需要一定时间和巧合的，所以我还是选择零碎记下一些关键之处，以备下次学习时能有一些方向和启发。

我之前的博客说，sam是对于有相同endpos的一系列子串做了一个压缩，所以很多功能也建立在endpos相同的子串具有许多相同的性质。这是很有道理的，可以作为sam的一个本质来思考。

sam是一个子串数据结构，每一个子串都能在其中找到对应的表示，子串是连续的，这是一个关键的性质，能够将\(n^2\)的子串数压缩在\(O(n)\)的数据结构中，本质上就是利用了子串连续的性质，当然，如何具体，定量的分析，就是我一直想要搞明白但又还没有的工作了，依然是复用理论中信息复杂度的问题，任重道远啊。

子串，一个特定的子串其实就是一个特定的前缀的特定后缀，这就是sam如何维护所有子串的信息了，sam通过从前往后一个一个的添加字符，从前往后就是所有的前缀， 对于每个前缀，又去维护所有的后缀。

所谓endpos ，其实就是一个子串的出现位置集合，如果两个子串的所有出现位置完全相同，那么其中一个串必然是另一个的后缀。

对于一个endpos，一个字符串出现的所有位置，如果把这些所有的不同位置的相同字符串同时向前扩展一个字符，如果这些扩展的字符都相同， 那么扩展后的字符串都相同，这个字符串有这么一种唯一的向前扩展方式，所以这个字符串在且仅在原来那个endpos中的所有位置出现，所以一个endpos，会覆盖一个字符串区间，直到这个区间中最长的字符串向前扩展时，出现了不同的扩展方式，即不同的扩展字符，这时候就会出现endpos分裂。

endpos构成一颗树， 这个树的所有叶子节点代表一个前缀，因为叶子节点的意思是无法再向前扩展了，只有前缀无法向前扩展，但前缀不一定是叶子节点，因为一个前缀虽然无法再向前扩展了， 但这个子串可能不止在前缀这一个地方出现过，其他非前缀的出现位置仍然可以继续扩展，所以它的分裂出去的endpos大小和会比原来endpos少一个，这一个就是前缀。

简单讲一下如何维护sam把，还是复用的思路，sam的核心是维护后缀link，我们考虑每次往后加入一个新的字符，这时出现了一个新的后缀，如何复用前面的信息来得到这个新的后缀呢？我们考虑这个后缀除了最后一个字符的的子串，也就是前一个后缀，新的后缀可以由前一个后缀向后扩展一个字符得到， 那么我们记录一个ch数组，这个数组用于向后扩展字符，但意义有所不同，这个数组表示的是，严格包含扩展后字符串，且以该串为后缀的，包含且仅包含该串所有出现次数的endpos， 只要这个串之前出现过就会有这么个endpos， 所以你加入新字符后，这个新的最长后缀的某些比较长的子后缀可能是之前没有出现过的，是第一次出现的，所以你要跳跳跳，跳到一个之前出现过的， 但之前出现的所有位置可能都是带着一些更多字符同时出现的，但你现在决定加入的这一个很有可能不顺便带有那些字，符，这就是为什么你要分裂它了。关于构建的部分我就不多讲解了， 这涉及到许多复杂度的问题， 我自己也没搞懂，下次在研究。

我们要维护所有子串的信息，在树上做dp，关键是要包含所有子串，这时正确性的保证，求出endpos出现的所有位置可能是一个具有典型性的问题， endpos其实就是一个后缀，endpos出现的所有位置，其实就是以endpos为后缀的所有子串，也即是所有可能扩展出现的位置，它就等于所有儿子的合并，以及可能存在的本身也代表一个字符串情况， 每一个儿子是每一种扩展，如果这个endpos本身是一个前缀，那么这个不可扩展的前缀要特别记录在当前节点中，这就是一个不重不漏的正确性保证。这个东西或许可以用什么线段树合并来维护。

后缀link构成的那颗树，可以理解为一颗trie树， 是往前加字符的。其实ch，也就是转移， 也可以理解为一个往后加字符的trie树，这就是sam同时支持前后加字符的很好功能，需要注意的是，这个向后的trie树是被压缩的（虽然向前也压缩，但不破坏树结构），这就是为什么它的多个点被压成一个点从而形成了一个dag。