关键词：
泛化性、过拟合、欠拟合；误差、偏差、方差 及其关系；模型复杂度&偏差&方差&过拟合&欠拟合&误差之间关系
泛化性generalization: performances on unseen data
training data——seen
test data——unseen
过拟合overfit: predict accurately on training data(small training loss=error=cost) but not generalize well on test data(large test error)
*在训练数据上表现很好，但在测试数据上表现很差。往往是把模型搞得很复杂去fit每一个训练数据点，但其实并不能真正代表整个数据的分布（比如考虑了unrelated features&noise），捕捉了虚假的输入和输出之间的关系
【large variance】
欠拟合underfit: relatively large training error (typically relatively large test error)
*在训练数据上表现得就很差，在测试数据上也相应不会好。往往是模型太简单，并不能代表ground truth function，没啥预测能力。此时你堆再多训练数据也没用。。。
【large bias】
bias-variance trade-off
看到这里，你肯定有很多问题：
1、bias=偏差和variance=方差到底是什么？
首先，两者都是针对测试集的
bias偏差：在测试集上，预测值和真实值之间的差距
variance方差：在测试集上，预测值的离散程度
这里先要理解，各个预测点来自哪里？所有预测点的输入x（来自测试集中的某个样本）是同一个，但是输出的预测值不同，这是因为模型的参数不同，即使用了不同的训练集（理解为训练数据的不同子集）进行模型训练。
因此，
偏差：对于同一个测试样本，N次预测值的平均值 与 真实值 之间的距离
方差：对于同一个测试样本，N次预测值之间的方差
然后看这张图帮助理解，对于同一个测试样本的输入x，红色代表真实输出值，蓝点代表各次预测点
2、generalization error=test error泛化误差、bias偏差、variance方差 之间的关系？
先上结论：泛化误差=数据本身噪声+偏差+方差
其中，数据噪声不可避免也无法处理。这个式子里比较反直觉的是方差这一项的存在
（1）理解：
我们前面提到，N次预测是针对同一个测试样本的输入x，但是每次的模型参数不同，这些参数来自于不同的训练集。因此，N次预测值的离散程度，反映在不同训练集下的模型表现的离散程度。即，方差衡量模型对训练数据集中微小波动的敏感度。如果一个模型本身复杂度很高，对于训练集很敏感，能够细微捕捉到数据中的微小差异，那么用不同训练集得到的模型参数，在同一个测试数据上，预测结果的方差很较大。so模型复杂——高variance
另一方面，bias衡量不同训练集下平均预测表现的好坏，即平均预测值和真实值的差距。如果模型太简单，根本不能预测准，那么bias自然会很大。so模型简单——高bias
（2）数学推导
\(MSE(x)=\sigma^2+(h^*(x)-h_{avg}(x))^2+var((h_S(x))\)
右侧第一项：unavoidable noise
右侧第二项：bias的平方
右侧第三型：variance
具体推导过程见P120 of https://cs229.stanford.edu/main_notes.pdf
*注意，这是回归问题的数学式子，分类问题相对not clear，暂无统一数学式子
3、总结bias、variance、model complexity、underfit、overfit、generalization error、training error之间的关系：
Find best bias-variance trade-off according to the model complexity, otherwise leading to overfitting/underfitting, thus high generalization error:
模型简单——高bias—欠拟合（高test error、高training error）。增加训练数据无济于事
模型复杂——高variance——过拟合（高test error、低training error）。增加训练数据往往可以降低variance
关系图如下：
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test error的double descent现象
见于：线性模型、深度神经网络
（1）model-wise double descent
模型复杂度（参数数量）↑，test error降-升-降
*在经典bias-variance trade-off中，test error随模型复杂度先降后升，但这里注意可能有第二个降，即继续增加模型参数，test error会降低
（2）sample-wise double descent
样本数量↑，test error降-升-降
*不是随着样本数量↑，test error一直降，中间会有个升降的过程
两种现象的test error极大值点均为n=d，样本数量=参数数量
这个点是我们不想要的，研究发现，通过正则化，可以降低此处的test error（上图的右图）
另外，为什么overparameterized model能够降低test error（泛化好）？可能解释为有隐式的正则化作用（implicit regularization）
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正则化Regularization
正则化的目的为防止过拟合，增强模型泛化能力
几个问题
1、什么是正则化
2、正则化为什么能防止过拟合
（1）直觉理解
regulate是规则化，对参数施加某种规则（impose structures on parameters）。
为什么正则化的对象是参数？正则化的目的为降低模型复杂度（让模型变简单，变“傻”），防止过拟合；而模型复杂度就是和参数相关的
可以提前想想，对参数施加何种规则有利于降低模型复杂度？稀疏sparse——非0参数少，大部分参数都是0（L1-norm）！这样模型不会因为有很多参数（模型很复杂）就去考虑所有的特征（包括noise和unrelated features）导致过拟合，而是利用少量的非0参数，只留下/只考虑真正有用的特征，这样得到一个具有代表性的模型，泛化能力强
（2）实施正则化
正则化其实就是在training loss function中加一项
\(J_{\lambda}(\theta)=J(\theta)+{\lambda}R(\theta)\)
\(J_{\lambda}(\theta)\): regularized loss
\(\lambda\): regularization parameter
\(R(\theta)\): regularizer
到时候训练目标是最小化regularized loss function
使得正则项尽可能小：可以理解为正则项是一个关于参数\(\theta\)的函数，是一种对于模型复杂度的measure，尽可能使正则项小，就是尽可能降低模型复杂度
正则化参数\(\lambda\)：一般会取一个比较小的正数，这样，通过最小化regularized loss function，可以在对参数的规则限制的基础上，有效最小化original loss。\(\lambda\)增大，则对参数限制会增强。如果过大，可能会淹没掉original loss
常用的Regularizers
线性模型：L1-norm、L2-norm（常用于kernal methods）
深度学习：L2-norm=weight-decay、dropout、data augmentation、regulating the Lipschitzness
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知识补充：范数norm
\(L0-norm=\parallel{x}\parallel_{0}=\#\{i|x_{i}\ne{0}\}\)
向量中非0元素的个数
\(L1-norm=\parallel{x}\parallel_{1}=\sum_{i}|x_i|\)
绝对值之和。0范数和1范数均可实现稀疏，但1范数具有更好的优化求解特性，从而被广泛使用
\(L2-norm=\parallel{x}\parallel_{2}=\sqrt{sum_{i}{x_i}^2}\)
平方和开根号=模。让其很小，可以使每个元素都很小，接近0但不等于0；这与 1范数让更多的等于0 不同
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（3）详解逻辑链：加入正则项&使其尽可能小 —— 参数的稀疏解 —— 防止过拟合，增加泛化能力
如果跳过“参数的稀疏解”，可以直觉理解为：正则项是一个关于参数\(\theta\)的函数，是一种对于模型复杂度的measure，尽可能使正则项小，就是尽可能降低模型复杂度
但是，如果一步一步看，该如何理解？
“参数的稀疏解 —— 防止过拟合，增加泛化能力”这一步，可以直觉理解为：稀疏sparse——比如非0参数少，大部分参数都是0（L1-norm）！这样模型不会因为有很多参数（模型很复杂）就去考虑所有的特征（包括noise和unrelated features）导致过拟合，而是利用少量的非0参数，只留下/只考虑真正有用的特征，这样得到一个具有代表性的模型，泛化能力强
“加入正则项&使其尽可能小 —— 参数的稀疏解”这一步，如何理解？
先看一下，各个范数的形状（x-y为参数平面，z为norm值的大小）
接下来都以L1-norm为例，注意看这是一个八棱锥，角/刺很多！
假设为线性回归模型\(y=\theta_{1}x+\theta_2\)，一共两个参数\(\theta_1\), \(\theta_2\)
如果给了我们一个训练样本(a,b)，但是因为有两个参数，则可得无数组参数解，形成一条直线\(\theta_{2}=-a\theta_{1}+b\)，这上面的每个点都是一组参数解
这时候，我们要（1）fit训练样本，即在那条直线上找参数解；（2）满足L1-norm的限制，即在上图八棱锥的形状内找参数解；（3）让L1-norm的值尽可能小（z小）
想实现上述目标，可以想象为，L1-norm的形状从原点开始长大，直到与此直线相“触碰”到（下图）。不难想象，有很大的概率，最先触碰到的点是八棱锥的刺！而这些刺，都会让两个参数中的其中一个为0，即为稀疏解！
有人会问，0<p<1不是刺更多，为什么不用这个？因为计算难度
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交叉验证cross validation（CV）：hold-out CV、k-fold CV、leave-one-out CV
用于模型选择
1、hold-out CV
数据集中分70%训练、30%验证，对于每个待选模型，在训练集上训练，然后在验证集上验证，最后选择validation error最小的模型
缺点：浪费30%的数据
2、k-fold CV
数据集分为k份，对于每个待选模型，每次取k-1份训练，剩下1份验证，这样进行k次训练和验证，得到k次的平均validation error，最后选平均validation error最小的模型
优点：损失数据相对少，损失1/k的数据
缺点：计算量增加，每个模型都需要训练k次
3、leave-one-out CV
每次只留1个样本验证
适用于特别小的数据集（损失不起）
CV除了可以进行模型选择，还可以进行模型表现的评估。k折CV可以体现模型的稳定性
参考文献：
[1]https://cs229.stanford.edu/main_notes.pdf
[2]https://blog.mlreview.com/l1-norm-regularization-and-sparsity-explained-for-dummies-5b0e4be3938a
（[2]这篇强推，正则化解释得太好了）
[3]https://www.cnblogs.com/nxf-rabbit75/p/10592583.html
[4]https://www.zhihu.com/tardis/bd/art/26884695
[5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/25707761
[6]https://blog.csdn.net/kdongyi/article/details/83932945
[7]https://blog.csdn.net/weixin_42327752/article/details/121428875
[8]https://blog.csdn.net/tiaochewang219/article/details/107631221