梯度下降算法:
梯度下降是一种广泛应用于优化机器学习模型参数的方法,目的是找到使损失函数最小化的参数值组合。
首先,损失函数用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。假设我们有一个线性回归模型 ,损失函数可以是均方误差 ,其中 是样本数量, 和 是第 个样本的真实值和输入值, 和 是模型的参数。
梯度是一个多元函数在某一点处的方向导数组成的向量,它指向函数值增长最快的方向。对于损失函数 ,其梯度 是一个由偏导数组成的向量。
以二维参数 为例,梯度 。
在梯度下降算法中,我们通过以下步骤进行参数更新:
1. 初始化参数 ,通常可以随机初始化。
2. 计算损失函数在当前参数 处的梯度 。
3. 沿着负梯度方向更新参数 ,更新公式为 ,其中 是学习率,它决定了每次参数更新的步长。学习率的选择非常关键,如果学习率过大,可能会导致参数在最优解附近来回震荡,无法收敛;如果学习率过小,收敛速度会非常慢。
4. 重复步骤 2 和 3,直到满足停止条件,例如损失函数的变化小于某个阈值、达到指定的迭代次数等。
梯度下降的变体包括:
1. 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD):每次只使用一个样本计算梯度并更新参数,计算速度快,但由于样本的随机性,更新方向可能不太稳定。
2. 小批量梯度下降(Mini-batch Gradient Descent):每次使用一小批样本(通常是几十到几百个)计算梯度并更新参数,在计算效率和稳定性之间取得了较好的平衡。
3. 动量梯度下降(Momentum Gradient Descent):在参数更新时,不仅考虑当前梯度,还考虑之前梯度的累积,有助于加速收敛和克服局部最优。
4. 自适应梯度算法(Adagrad、Adadelta、Adam 等):这些算法可以自动调整学习率,根据参数的历史梯度信息对不同的参数使用不同的学习率。
在实际应用中,为了有效地使用梯度下降算法,需要注意以下几点:
1. 数据预处理:例如归一化数据,使得不同特征的取值范围相近,有助于梯度下降的收敛。
2. 学习率调整策略:可以采用固定学习率、学习率衰减、自适应学习率等策略。
3. 正则化:如 L1 和 L2 正则化,防止过拟合。
4. 初始化参数:合适的初始化可以加快收敛速度。
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