首页 > 其他分享 >数据结构-二叉树

数据结构-二叉树

时间:2024-07-15 20:29:47浏览次数:18  
标签:结点 遍历 cur right 二叉树 数据结构 节点

引入

图论中的树和现实生活中的树长得一样,只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树,因此得名。

定义

一个没有固定根结点的树称为 无根树(unrooted tree)。无根树有几种等价的形式化定义:

有 n 个结点,n-1 条边的连通无向图

无向无环的连通图

任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

任何边均为桥的连通图

没有圈,且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

在无根树的基础上,指定一个结点称为 根,则形成一棵 有根树(rooted tree)。有根树在很多时候仍以无向图表示,只是规定了结点之间的上下级关系,详见下文。

有关树的定义

适用于无根树和有根树
森林(forest):每个连通分量(连通块)都是树的图。按照定义,一棵树也是森林。

生成树(spanning tree):一个连通无向图的生成子图,同时要求是树。也即在图的边集中选择 n - 1 条,将所有顶点连通。

无根树的叶结点(leaf node):度数不超过 1 的结点。

为什么不是度数恰为 1?
考虑 n = 1。

有根树的叶结点(leaf node):没有子结点的结点。

只适用于有根树
父亲(parent node):对于除根以外的每个结点,定义为从该结点到根路径上的第二个结点。
根结点没有父结点。
祖先(ancestor):一个结点到根结点的路径上,除了它本身外的结点。
根结点的祖先集合为空。
子结点(child node):如果 u 是 v 的父亲,那么 v 是 u 的子结点。
子结点的顺序一般不加以区分,二叉树是一个例外。
结点的深度(depth):到根结点的路径上的边数。
树的高度(height):所有结点的深度的最大值。
兄弟(sibling):同一个父亲的多个子结点互为兄弟。
后代(descendant):子结点和子结点的后代。
或者理解成:如果 u 是 v 的祖先,那么 v 是 u 的后代。
tree-definition.svg

子树(subtree):删掉与父亲相连的边后,该结点所在的子图。

tree-definition-subtree.svg

特殊的树

链(chain/path graph):满足与任一结点相连的边不超过 2 条的树称为链。

菊花/星星(star):满足存在 u 使得所有除 u 以外结点均与 u 相连的树称为菊花。

有根二叉树(rooted binary tree):每个结点最多只有两个儿子(子结点)的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分,分别称之为左子结点和右子结点。
大多数情况下,二叉树 一词均指有根二叉树。

完整二叉树(full/proper binary tree):每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之,每个结点或者是树叶,或者左右子树均非空。

完全二叉树(complete binary tree):只有最下面两层结点的度数可以小于 2,且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。

完美二叉树(perfect binary tree):所有叶结点的深度均相同,且所有非叶节点的子节点数量均为 2 的二叉树称为完美二叉树。

Warning
Proper binary tree 的汉译名称不固定,且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同,遇到的时候需根据上下文加以判断。

OIers 所说的「满二叉树」多指完美二叉树。

存储

只记录父结点
用一个数组 parent[N] 记录每个结点的父亲结点。

这种方式可以获得的信息较少,不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。

邻接表

对于无根树:为每个结点开辟一个线性列表,记录所有与之相连的结点。
std::vector<int> adj[N];
对于有根树:
方法一:若给定的是无向图,则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。
方法二:若输入数据能够确保结点的上下关系,则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表,记录其所有子结点;若有需要,还可在另一个数组中记录其父结点。
std::vector<int> children[N];
int parent[N];
当然也可以用其他方式(如链表)替代 std::vector。
左孩子右兄弟表示法

过程

对于有根树,存在一种简单的表示方法。

首先,给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。

此后为每个结点记录两个值:其 第一个子结点 child[u] 和其 下一个兄弟结点 sib[u]。若没有子结点,则 child[u] 为空;若该结点是其父结点的最后一个子结点,则 sib[u] 为空。

实现
遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。

int v = child[u];  // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
  v = sib[v];  // 转至下一个子结点,即 v 的一个兄弟
}

也可简写为以下形式。

for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
}

二叉树
需要记录每个结点的左右子结点。

实现
int parent[N];
int lch[N], rch[N];
// -- or --
int child[N][2];
树的遍历
树上 DFS
在树上 DFS 是这样的一个过程:先访问根节点,然后分别访问根节点每个儿子的子树。

可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息。

二叉树 DFS 遍历

先序遍历

preorder

按照 根,左,右 的顺序遍历二叉树。

实现

void preorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    cout << root->key << " ";
    preorder(root->left);
    preorder(root->right);
  }
}

中序遍历

inorder

按照 左,根,右 的顺序遍历二叉树。

实现

void inorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    inorder(root->left);
    cout << root->key << " ";
    inorder(root->right);
  }
}

后序遍历

postorder

按照 左,右,根 的顺序遍历二叉树。

实现

void postorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    postorder(root->left);
    postorder(root->right);
    cout << root->key << " ";
  }
}

反推

已知中序遍历序列和另外一个序列可以求第三个序列。
前序的第一个是 root,后序的最后一个是 root。
先确定根节点,然后根据中序遍历,在根左边的为左子树,根右边的为右子树。
对于每一个子树可以看成一个全新的树,仍然遵循上面的规律。

树上 BFS

从树根开始,严格按照层次来访问节点。

BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点。

树的层序遍历

树层序遍历是指按照从根节点到叶子节点的层次关系,一层一层的横向遍历各个节点。根据 BFS 的定义可以知道,BFS 所得到的遍历顺序就是一种层序遍历。但层序遍历要求将不同的层次区分开来,所以其结果通常以二维数组的形式表示。

例如,下图的树的层序遍历的结果是 [[1], [2, 3, 4], [5, 6]](每一层从左向右)。

tree-basic-levelOrder

实现

vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
  if (!root) {
    return {};
  }
  vector<vector<int>> res;
  queue<Node*> q;
  q.push(root);
  while (!q.empty()) {
    int currentLevelSize = q.size();  // 当前层的节点个数
    res.push_back(vector<int>());
    for (int i = 0; i < currentLevelSize; ++i) {
      Node* cur = q.front();
      q.pop();
      res.back().push_back(cur->val);
      for (Node* child : cur->children) {  // 把子节点都加入
        q.push(child);
      }
    }
  }
  return res;
}

二叉树 Morris 遍历

二叉树遍历的核心问题是,当遍历当前节点的子节点后,如何返回当前节点并继续遍历。遍历二叉树的递归方法和非递归方法都使用了栈结构,记录返回路径,来实现从下层到上层的移动。其空间复杂度最好时为 O(\log n),最坏时为 O(n)(二叉树呈线性)。

Morris 遍历的实质是避免使用栈,利用底层节点空闲的 right 指针指回上层的某个节点,从而完成下层到上层的移动。

Morris 遍历的过程
假设来到当前节点 cur,开始时来到根节点位置。

如果 cur 为空时遍历停止,否则进行以下过程。
如果 cur 没有左子树,cur 向右移动(cur = cur->right)。
如果 cur 有左子树,找到左子树上最右的节点,记为 mostRight。
如果 mostRight 的 right 指针指向空,让其指向 cur,然后 cur 向左移动(cur = cur->left)。
如果 mostRight 的 right 指针指向 cur,将其修改为 null,然后 cur 向右移动(cur = cur->right)。
例如,cur 从节点 1 开始访问。

tree-basic-morris-1

cur 第一次访问节点 2 时,找到左子树上最右的节点 4,将 4 的 right 指针指向 cur(节点 2)。

tree-basic-morris-2

cur 通过 4 的 right 指针返回上层,第二次访问节点 2 时,找到左子树上最右节点 4,将 4 的 right 指针修改为 null,然后继续访问右子树。之后的过程省略。

tree-basic-morris-1

整棵树的访问顺序是 1242513637。可以发现有左子树的节点访问两次,没有左子树的节点只访问一次。

实现

void morris(TreeNode* root) {
  TreeNode* cur = root;
  while (cur) {
    if (!cur->left) {
      // 如果当前节点没有左子节点,则输出当前节点的值并进入右子树
      std::cout << cur->val << " ";
      cur = cur->right;
      continue;
    }
    // 找到当前节点的左子树的最右节点
    TreeNode* mostRight = cur->left;
    while (mostRight->right && mostRight->right != cur) {
      mostRight = mostRight->right;
    }
    if (!mostRight->right) {
      // 如果最右节点的right指针为空,将其指向当前节点,并进入左子树
      mostRight->right = cur;
      cur = cur->left;
    } else {
      // 如果最右节点的right指针指向当前节点,说明左子树已经遍历完毕,输出当前节点的值并进入右子树
      mostRight->right = nullptr;
      std::cout << cur->val << " ";
      cur = cur->right;
    }
  }
}

无根树
过程
树的遍历一般为深度优先遍历,这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。

由于树是无环图,因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来,此后进入除该结点外的所有相邻结点,即可避免重复访问。

实现

void dfs(int u, int from) {
  // 递归进入除了 from 之外的所有子结点
  // 对于出发结点,from 为空,故会访问所有相邻结点,这与期望一致
  for (int v : adj[u])
    if (v != from) {
      dfs(v, u);
    }
}
// 开始遍历时
int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号
int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点
dfs(root, EMPTY_NODE);

有根树

对于有根树,需要区分结点的上下关系。

考察上面的遍历过程,若从根开始遍历,则访问到一个结点时 from 的值,就是其父结点的编号。

通过这个方式,可以对于无向的输入求出所有结点的父结点,以及子结点列表。\

标签:结点,遍历,cur,right,二叉树,数据结构,节点
From: https://www.cnblogs.com/mcr130102/p/18303921

相关文章

  • 数据结构:线性表的链式表示
    继上文《数据结构:线性表的顺序表示》,我们知道线性表的主要操作如下:InitList(&L):初始化表length(L):求表长LocateElem(L,e):按值查找操作GetElem(L,i):按位查找操作ListInsert(&L,i,e):插入操作ListDelete(&L,i,&e):删除操作PrintList(L):输出操作Empty(L):判空操......
  • 「代码随想录算法训练营」第十一天 | 二叉树 part1
    二叉树的基本知识链接:https://programmercarl.com/二叉树理论基础.html要点:深度优先遍历前序遍历(递归法,迭代法)中序遍历(递归法,迭代法)后序遍历(递归法,迭代法)广度优先遍历层次遍历(迭代法)由于栈就是递归的一种实现结构,因此前中后序遍历的逻辑可以借助栈使用递归的方式......
  • 数据结构的基础(集合框架算法,复杂度和泛型)
    一.什么是集合框架        Java集合框架JavaCollectionFramework,又被称为容器container,是定义在java.util包下的一组接口interfaces和其实现类classes。        其主要表现为将多个元素element置于一个单元中,用于对这些元素进行......
  • 数据结构学习笔记——线性表
    链表1.单链表链表的插入:    (1)需要知道插入位置的前驱结点(从表头顺序遍历)    (2)先修改要插入的结点(新结点)的指针    (3)再修改前驱结点的指针链表的删除:    (1)要知道删除结点的前驱结点(从表头顺序遍历)    (2)只需要修改前驱结点的指......
  • 代码随想录算法训练营第22天 |二叉树part07:235. 二叉搜索树的最近公共祖先、701.二叉
    代码随想录算法训练营第22天|二叉树part07:235.二叉搜索树的最近公共祖先、701.二叉搜索树中的插入操作、450.删除二叉搜索树中的节点235.二叉搜索树的最近公共祖先https://leetcode.cn/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree/description/代码随想录:htt......
  • 【数据结构】线性结构——数组、链表、栈和队列
    目录前言一、数组(Array)1.1优点1.2缺点1.3适用场景二、链表(LinkedList)2.1优点2.2缺点2.3适用场景三、栈(Stack)3.1优点3.2缺点3.3适用场景四、队列(Queue)4.1优点4.2缺点4.3适用场景......
  • 数据结构第28节 字典树
    字典树(Trie,也称前缀树)是一种用于存储字符串的树形数据结构。它将字符串中的字符作为树的边,每个节点代表一个可能的前缀。字典树非常适合处理大量字符串的搜索、插入和删除操作,尤其是在查找具有相同前缀的字符串时非常高效。基本概念:根节点:通常不包含任何数据,它的子节点包......
  • 数据结构绪论
    本篇主要介绍数据结构的基本概念和术语数据:数据是信息的载体。数据元素:数据的基本单元,通常作为一个整体进行考虑和处理。数据项:构成数据元素的不可分割的最小单位。数据对象:具有相同性质的数据元素的集合。数据类型原子类型:值不可再分的数据类型结构类型:值可以分解为......
  • 【NOI】C++数据结构入门之一维数组(一)数组基础
    文章目录前言一、概念1.导入2.数组2.1数组的创建2.2数组的使用二、例题讲解问题:1423-考试成绩的简单统计问题:1153-查找“支撑数”问题:1156-排除异形基因问题:1155-找找谁的身高超过全家的平均身高问题:1231-考试成绩的分布情况三、总结四、感谢前言在......
  • 数据结构专题
    [NOIP2012]借教室可以看到答案是有单调性的,若第i个可以那么第i-1个也可以,就可以二分答案,用差分维护区间加,也可以用树状数组#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;#defineintlonglong//#definedoublelongdouble#definePIIpair<int,int>constintN=1e6......