引入
图论中的树和现实生活中的树长得一样,只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树,因此得名。
定义
一个没有固定根结点的树称为 无根树(unrooted tree)。无根树有几种等价的形式化定义:
有 n 个结点,n-1 条边的连通无向图
无向无环的连通图
任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图
任何边均为桥的连通图
没有圈,且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图
在无根树的基础上,指定一个结点称为 根,则形成一棵 有根树(rooted tree)。有根树在很多时候仍以无向图表示,只是规定了结点之间的上下级关系,详见下文。
有关树的定义
适用于无根树和有根树
森林(forest):每个连通分量(连通块)都是树的图。按照定义,一棵树也是森林。
生成树(spanning tree):一个连通无向图的生成子图,同时要求是树。也即在图的边集中选择 n - 1 条,将所有顶点连通。
无根树的叶结点(leaf node):度数不超过 1 的结点。
为什么不是度数恰为 1?
考虑 n = 1。
有根树的叶结点(leaf node):没有子结点的结点。
只适用于有根树
父亲(parent node):对于除根以外的每个结点,定义为从该结点到根路径上的第二个结点。
根结点没有父结点。
祖先(ancestor):一个结点到根结点的路径上,除了它本身外的结点。
根结点的祖先集合为空。
子结点(child node):如果 u 是 v 的父亲,那么 v 是 u 的子结点。
子结点的顺序一般不加以区分,二叉树是一个例外。
结点的深度(depth):到根结点的路径上的边数。
树的高度(height):所有结点的深度的最大值。
兄弟(sibling):同一个父亲的多个子结点互为兄弟。
后代(descendant):子结点和子结点的后代。
或者理解成:如果 u 是 v 的祖先,那么 v 是 u 的后代。
tree-definition.svg
子树(subtree):删掉与父亲相连的边后,该结点所在的子图。
tree-definition-subtree.svg
特殊的树
链(chain/path graph):满足与任一结点相连的边不超过 2 条的树称为链。
菊花/星星(star):满足存在 u 使得所有除 u 以外结点均与 u 相连的树称为菊花。
有根二叉树(rooted binary tree):每个结点最多只有两个儿子(子结点)的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分,分别称之为左子结点和右子结点。
大多数情况下,二叉树 一词均指有根二叉树。
完整二叉树(full/proper binary tree):每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之,每个结点或者是树叶,或者左右子树均非空。
完全二叉树(complete binary tree):只有最下面两层结点的度数可以小于 2,且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。
完美二叉树(perfect binary tree):所有叶结点的深度均相同,且所有非叶节点的子节点数量均为 2 的二叉树称为完美二叉树。
Warning
Proper binary tree 的汉译名称不固定,且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同,遇到的时候需根据上下文加以判断。
OIers 所说的「满二叉树」多指完美二叉树。
存储
只记录父结点
用一个数组 parent[N]
记录每个结点的父亲结点。
这种方式可以获得的信息较少,不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。
邻接表
对于无根树:为每个结点开辟一个线性列表,记录所有与之相连的结点。
std::vector<int> adj[N];
对于有根树:
方法一:若给定的是无向图,则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。
方法二:若输入数据能够确保结点的上下关系,则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表,记录其所有子结点;若有需要,还可在另一个数组中记录其父结点。
std::vector<int> children[N];
int parent[N];
当然也可以用其他方式(如链表)替代 std::vector。
左孩子右兄弟表示法
过程
对于有根树,存在一种简单的表示方法。
首先,给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。
此后为每个结点记录两个值:其 第一个子结点 child[u] 和其 下一个兄弟结点 sib[u]。若没有子结点,则 child[u] 为空;若该结点是其父结点的最后一个子结点,则 sib[u] 为空。
实现
遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。
int v = child[u]; // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
// ...
// 处理子结点 v
// ...
v = sib[v]; // 转至下一个子结点,即 v 的一个兄弟
}
也可简写为以下形式。
for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
// ...
// 处理子结点 v
// ...
}
二叉树
需要记录每个结点的左右子结点。
实现
int parent[N];
int lch[N], rch[N];
// -- or --
int child[N][2];
树的遍历
树上 DFS
在树上 DFS 是这样的一个过程:先访问根节点,然后分别访问根节点每个儿子的子树。
可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息。
二叉树 DFS 遍历
先序遍历
preorder
按照 根,左,右 的顺序遍历二叉树。
实现
void preorder(BiTree* root) {
if (root) {
cout << root->key << " ";
preorder(root->left);
preorder(root->right);
}
}
中序遍历
inorder
按照 左,根,右 的顺序遍历二叉树。
实现
void inorder(BiTree* root) {
if (root) {
inorder(root->left);
cout << root->key << " ";
inorder(root->right);
}
}
后序遍历
postorder
按照 左,右,根 的顺序遍历二叉树。
实现
void postorder(BiTree* root) {
if (root) {
postorder(root->left);
postorder(root->right);
cout << root->key << " ";
}
}
反推
已知中序遍历序列和另外一个序列可以求第三个序列。
前序的第一个是 root,后序的最后一个是 root。
先确定根节点,然后根据中序遍历,在根左边的为左子树,根右边的为右子树。
对于每一个子树可以看成一个全新的树,仍然遵循上面的规律。
树上 BFS
从树根开始,严格按照层次来访问节点。
BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点。
树的层序遍历
树层序遍历是指按照从根节点到叶子节点的层次关系,一层一层的横向遍历各个节点。根据 BFS 的定义可以知道,BFS 所得到的遍历顺序就是一种层序遍历。但层序遍历要求将不同的层次区分开来,所以其结果通常以二维数组的形式表示。
例如,下图的树的层序遍历的结果是 [[1], [2, 3, 4], [5, 6]](每一层从左向右)。
tree-basic-levelOrder
实现
vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
if (!root) {
return {};
}
vector<vector<int>> res;
queue<Node*> q;
q.push(root);
while (!q.empty()) {
int currentLevelSize = q.size(); // 当前层的节点个数
res.push_back(vector<int>());
for (int i = 0; i < currentLevelSize; ++i) {
Node* cur = q.front();
q.pop();
res.back().push_back(cur->val);
for (Node* child : cur->children) { // 把子节点都加入
q.push(child);
}
}
}
return res;
}
二叉树 Morris 遍历
二叉树遍历的核心问题是,当遍历当前节点的子节点后,如何返回当前节点并继续遍历。遍历二叉树的递归方法和非递归方法都使用了栈结构,记录返回路径,来实现从下层到上层的移动。其空间复杂度最好时为 O(\log n),最坏时为 O(n)(二叉树呈线性)。
Morris 遍历的实质是避免使用栈,利用底层节点空闲的 right 指针指回上层的某个节点,从而完成下层到上层的移动。
Morris 遍历的过程
假设来到当前节点 cur,开始时来到根节点位置。
如果 cur 为空时遍历停止,否则进行以下过程。
如果 cur 没有左子树,cur 向右移动(cur = cur->right)。
如果 cur 有左子树,找到左子树上最右的节点,记为 mostRight。
如果 mostRight 的 right 指针指向空,让其指向 cur,然后 cur 向左移动(cur = cur->left)。
如果 mostRight 的 right 指针指向 cur,将其修改为 null,然后 cur 向右移动(cur = cur->right)。
例如,cur 从节点 1 开始访问。
tree-basic-morris-1
cur 第一次访问节点 2 时,找到左子树上最右的节点 4,将 4 的 right 指针指向 cur(节点 2)。
tree-basic-morris-2
cur 通过 4 的 right 指针返回上层,第二次访问节点 2 时,找到左子树上最右节点 4,将 4 的 right 指针修改为 null,然后继续访问右子树。之后的过程省略。
tree-basic-morris-1
整棵树的访问顺序是 1242513637。可以发现有左子树的节点访问两次,没有左子树的节点只访问一次。
实现
void morris(TreeNode* root) {
TreeNode* cur = root;
while (cur) {
if (!cur->left) {
// 如果当前节点没有左子节点,则输出当前节点的值并进入右子树
std::cout << cur->val << " ";
cur = cur->right;
continue;
}
// 找到当前节点的左子树的最右节点
TreeNode* mostRight = cur->left;
while (mostRight->right && mostRight->right != cur) {
mostRight = mostRight->right;
}
if (!mostRight->right) {
// 如果最右节点的right指针为空,将其指向当前节点,并进入左子树
mostRight->right = cur;
cur = cur->left;
} else {
// 如果最右节点的right指针指向当前节点,说明左子树已经遍历完毕,输出当前节点的值并进入右子树
mostRight->right = nullptr;
std::cout << cur->val << " ";
cur = cur->right;
}
}
}
无根树
过程
树的遍历一般为深度优先遍历,这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。
由于树是无环图,因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来,此后进入除该结点外的所有相邻结点,即可避免重复访问。
实现
void dfs(int u, int from) {
// 递归进入除了 from 之外的所有子结点
// 对于出发结点,from 为空,故会访问所有相邻结点,这与期望一致
for (int v : adj[u])
if (v != from) {
dfs(v, u);
}
}
// 开始遍历时
int EMPTY_NODE = -1; // 一个不存在的编号
int root = 0; // 任取一个结点作为出发点
dfs(root, EMPTY_NODE);
有根树
对于有根树,需要区分结点的上下关系。
考察上面的遍历过程,若从根开始遍历,则访问到一个结点时 from 的值,就是其父结点的编号。
通过这个方式,可以对于无向的输入求出所有结点的父结点,以及子结点列表。\
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