题目描述
给定一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\)，有以下三种操作：
INSERT i x：\(i\) 位置后面添加一个新元素 \(x\)，下一个元素挂在这个元素后面。MIN_GAP：查询相邻元素差值的最小值。MIN_SORT_GAP：查询元素中最接近的两个元素的差值。
题目解析
平衡树经典题目。建立 \(2\) 棵平衡树，分别维护所谓的相邻元素差值与最接近的差值，也就是 MIN_GAP 和 MIN_SORT_GAP。
对于 Insert 和 Delete 操作；
-
MIN_GAP平衡树维护的是相邻差值。先将原本的所有相邻元素之间的差值 Insert 进平衡树，再记录一个 \(lst_i\) 表示以 \(a_i\) 为开头的添加于 \(i\) 后的上一个元素。对于一个 \(1 \le i \le n\)，每一次INSERT i x操作，上一次的 \(lst_i\) 与 \(a_{i+1}\) 之间的相邻关系消除，即 Delete 掉 \(|lst_i-a_{i+1}|\)；本次增加 \(lst_i\) 与 \(x\) 之间的相邻关系，以及 \(x\) 与 \(a_{i+1}\) 之间的相邻关系，即 Insert 进 \(|lst_i-x|\) 和 \(|x-a_{i+1}|\)。 -
MIN_SORT_GAP平衡树维护的是最接近的两个元素的差值？其实也不然。先将 \(a\) 数组的所有元素 Insert 进去，每次INSERT i x操作也就是 Insert 进去 \(x\)。只是每个元素在 Insert 进去前先用当前他与 pre 和 nxt 之间的差值更新一下答案而已，运用平衡树，这就相当于去求排序后所有相邻元素之间的差值的最小值。
最终对于 MIN_GAP 的询问，输出 rk 为 \(1\) 的元素即可；对于 MIN_SORT_GAP 的询问，输出记录最小值的变量即可。
实现写的是 FHQ-Treap，FHQ-Treap 太好写辣（
代码实现
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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,q,ans=INT_MAX;
int a[1145141],b[1145141],lsta[1145141],lstb[1145141];
int rt1,rt2,l1=0,r1=0,l2=0,r2=0,px1,px2,cnt1=0,cnt2=0;
struct node{
int l,r,siz,val,randval;
}Treap1[1145141],Treap2[1145141];
void pushup1(int p){
Treap1[p].siz=Treap1[Treap1[p].l].siz+Treap1[Treap1[p].r].siz+1;
return ;
}
void build1(int x){
++cnt1;
Treap1[cnt1].l=Treap1[cnt1].r=0;
Treap1[cnt1].siz=1;
Treap1[cnt1].val=x;
Treap1[cnt1].randval=rand();
return ;
}
void Split1(int p,int val,int &l,int &r){
if(!p){
l=r=0;
return ;
}
if(Treap1[p].val<=val){
l=p;
Split1(Treap1[p].r,val,Treap1[p].r,r);
}else{
r=p;
Split1(Treap1[p].l,val,l,Treap1[p].l);
}
pushup1(p);
return ;
}
int Merge1(int l,int r){
if(!l||!r) return l+r;
if(Treap1[l].randval<=Treap1[r].randval){
Treap1[l].r=Merge1(Treap1[l].r,r);
pushup1(l);
return l;
}
Treap1[r].l=Merge1(l,Treap1[r].l);
pushup1(r);
return r;
}
void Insert1(int x){
Split1(rt1,x,l1,r1);
build1(x);
rt1=Merge1(Merge1(l1,cnt1),r1);
return ;
}
void Delete1(int x){
Split1(rt1,x,l1,r1);
Split1(l1,x-1,l1,px1);
px1=Merge1(Treap1[px1].l,Treap1[px1].r);
rt1=Merge1(Merge1(l1,px1),r1);
return ;
}
int rk1(int p,int k){
if(k==Treap1[Treap1[p].l].siz+1) return p;
if(k<Treap1[Treap1[p].l].siz+1) return rk1(Treap1[p].l,k);
k-=Treap1[Treap1[p].l].siz+1;
return rk1(Treap1[p].r,k);
}
void pushup2(int p){
Treap2[p].siz=Treap2[Treap2[p].l].siz+Treap2[Treap2[p].r].siz+1;
return ;
}
void build2(int x){
++cnt2;
Treap2[cnt2].l=Treap2[cnt2].r=0;
Treap2[cnt2].siz=1;
Treap2[cnt2].val=x;
Treap2[cnt2].randval=rand();
return ;
}
void Split2(int p,int val,int &l,int &r){
if(!p){
l=r=0;
return ;
}
if(Treap2[p].val<=val){
l=p;
Split2(Treap2[p].r,val,Treap2[p].r,r);
}else{
r=p;
Split2(Treap2[p].l,val,l,Treap2[p].l);
}
pushup2(p);
return ;
}
int Merge2(int l,int r){
if(!l||!r) return l+r;
if(Treap2[l].randval<=Treap2[r].randval){
Treap2[l].r=Merge2(Treap2[l].r,r);
pushup2(l);
return l;
}
Treap2[r].l=Merge2(l,Treap2[r].l);
pushup2(r);
return r;
}
void Insert2(int x){
Split2(rt2,x,l2,r2);
if(Treap2[l2].siz){
int now=l2;
while(Treap2[now].r) now=Treap2[now].r;
ans=min(ans,abs(x-Treap2[now].val));
}
if(Treap2[r2].siz){
int now=r2;
while(Treap2[now].l) now=Treap2[now].l;
ans=min(ans,abs(Treap2[now].val-x));
}
build2(x);
rt2=Merge2(Merge2(l2,cnt2),r2);
return ;
}
void Delete2(int x){
Split2(rt2,x,l2,r2);
Split2(l2,x-1,l2,px2);
px2=Merge2(Treap2[px2].l,Treap2[px2].r);
rt2=Merge2(Merge2(l2,px2),r2);
return ;
}
signed main(){
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i];
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<n;i++) Insert1(abs(a[i+1]-a[i]));
for(int i=1;i<n;i++) Insert2(a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) lsta[i]=a[i];
while(q--){
string op;
cin>>op;
if(op=="INSERT"){
int ii,x;
cin>>ii>>x;
Insert2(x);
if(ii==n){
Delete1(abs(a[n]-lsta[n]));
Insert1(abs(x-lsta[n]));
lsta[n]=x;
}
else{
Delete1(abs(a[ii+1]-lsta[ii]));
Insert1(abs(x-lsta[ii]));
Insert1(abs(a[ii+1]-x));
lsta[ii]=x;
}
}
else if(op=="MIN_GAP") cout<<Treap1[rk1(rt1,1)].val<<endl;
else cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}