二进制中为什么负数是正数取反再加一

二进制中的负数表示有一个重要的概念是补码，它是由对应正数二进制取反后再加 1 得到的。但是经常忘记为什么要这么表示，这里结合 chatgpt 解释做个简单的总结。

补码（Two's Complement）设计的逻辑来自于简化和统一计算机中有符号数的表示和运算。其设计逻辑可以追溯到计算机科学中的一些基本需求和目标。以下是补码设计逻辑的详细解释：

1. 有符号数的表示

目标: 在计算机中，需要一种方法来表示正数和负数，同时要确保运算的简便性和一致性。

2. 符号位的使用

思路: 使用最高位（最左边一位）作为符号位。0表示正数，1表示负数。这是因为使用最高位作为符号位可以直接决定数的正负，同时剩余的位可以用于表示数值部分。

3. 简化运算

需求: 希望计算机能够使用相同的电路（主要是加法器）来处理加法和减法。

实现:

• 对于加法，直接进行二进制加法。
• 对于减法，将减法转换为加法，通过加上一个负数来实现。

4. 负数的表示

挑战: 如何表示负数使得上述需求能够被满足？

这里我们可以假设给定一个正数，例如 5 的8位二进制是 0000 0101，那么我们该如何设计-5 呢？

很显然，最重要想实现的目的是 5+-5=0,也就是 0000 0101 + x = 0000 0000, 手动算一下减法，x= 1111 1011。观察一下规律你会发现，x 其实就是 0000 0101取反再加 1。

整理一下，如下：

补码的引入:

• 按位取反加1: 补码的核心思想是，将一个数的负数表示为该数的按位取反再加1。

例如，对于8位系统中的数字：

• 正数 5 的二进制表示是 0000 0101。
• 负数 -5 的表示过程是：
  1. 将 5 的二进制按位取反：1111 1010
  2. 加1：1111 1011
     因此，-5 的补码表示是 1111 1011。

5. 运算一致性

验证: 通过补码表示，负数可以直接参与加法运算，而无需额外的减法电路。

例如，计算 5 + (-5)：

• 5 的二进制表示是 00000101
• -5 的补码表示是 11111011

二者相加：

  00000101
+ 11111011
  ----------
  100000000  （由于是8位系统，只取低8位，结果为 00000000）

结果为 00000000，表示0，运算正确。

6. 统一零的表示

优势: 使用补码表示法，零只有一种表示形式，即 00000000，这简化了零的处理逻辑，避免了符号-绝对值表示法中正零和负零的问题。

7. 溢出检测简化

溢出检测: 在补码表示法中，溢出可以通过简单的逻辑操作检测到。例如：

• 两个正数相加结果为负数
• 两个负数相加结果为正数

这可以通过检查结果的符号位来实现。

设计逻辑总结

补码的设计逻辑旨在简化和统一计算机中有符号数的表示和运算。其主要优势包括：

• 符号位的直观使用
• 负数的补码表示使加法和减法运算一致
• 零的唯一表示形式
• 简化的溢出检测

通过这些设计，补码有效地解决了在计算机中处理有符号数的各种挑战，成为现代计算机系统中广泛采用的表示方法。