力扣第218题“天际线问题”

在本篇文章中，我们将详细解读力扣第218题“天际线问题”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用扫描线算法和堆来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。

问题描述

力扣第218题“天际线问题”描述如下：

城市的天际线是从远处观看建筑物形成的轮廓。现在，给你所有建筑物的位置和高度，绘制出它们的天际线。

每个建筑物的几何信息用三元组表示 [left, right, height]，其中 left 是建筑物的左边缘，right 是建筑物的右边缘，height 是建筑物的高度。天际线应该表示为由 “关键点” 组成的列表，其中每个关键点是一个二维坐标 (x, y) 并按照 x 坐标进行排序。关键点是天际线在 x 轴上图形的转折点。注意，最左侧的建筑物可能会影响天际线的高度，而最右侧建筑物可能会影响天际线的高度。

示例:

输入: [[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]]
输出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]

示例:

输入: [[0,2,3],[2,5,3]]
输出: [[0,3],[5,0]]

解题思路

方法：扫描线算法和最大堆

1. 初步分析：

   • 使用扫描线算法可以有效地处理建筑物的左右边缘，并维护当前的最大高度。
   • 通过最大堆来动态维护当前的最高建筑物高度。

2. 步骤：

   • 将所有的建筑物边缘按照 x 坐标排序，如果 x 坐标相同，按左边缘先于右边缘排序。
   • 使用一个最大堆来维护当前的建筑物高度。
   • 遍历所有的边缘，更新堆和结果列表。

代码实现

import heapq

def getSkyline(buildings):
    events = []
    for l, r, h in buildings:
        events.append((l, -h, r))
        events.append((r, 0, 0))
    
    events.sort()
    result = [[0, 0]]
    max_heap = [(0, float("inf"))]
    
    for x, neg_h, r in events:
        while max_heap[0][1] <= x:
            heapq.heappop(max_heap)
        
        if neg_h:
            heapq.heappush(max_heap, (neg_h, r))
        
        if result[-1][1] != -max_heap[0][0]:
            result.append([x, -max_heap[0][0]])
    
    return result[1:]

# 测试案例
print(getSkyline([[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]]))  # 输出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]
print(getSkyline([[0,2,3],[2,5,3]]))  # 输出: [[0,3],[5,0]]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是建筑物的数量。排序操作和堆操作的时间复杂度均为 O(n log n)。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储事件和堆。

模拟面试问答

问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？

回答：我们可以使用扫描线算法和最大堆来解决这个问题。通过遍历所有的建筑物边缘，维护一个最大堆来动态更新当前的最高建筑物高度，并在每个关键点记录下当前的天际线高度变化。

问题 2：为什么选择使用扫描线算法和最大堆来解决这个问题？

回答：扫描线算法通过遍历所有的建筑物边缘，可以有效地处理建筑物的左右边缘，并维护当前的最大高度。最大堆可以高效地动态维护当前的最高建筑物高度，从而解决天际线问题。

问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？

回答：算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是建筑物的数量。排序操作和堆操作的时间复杂度均为 O(n log n)。空间复杂度为 O(n)，用于存储事件和堆。

问题 4：在代码中如何处理边界情况？

回答：对于没有建筑物的情况，可以直接返回空列表。通过这种方式，可以处理边界情况。

问题 5：你能解释一下扫描线算法的工作原理吗？

回答：扫描线算法通过遍历所有的建筑物边缘，将其按照 x 坐标排序，并使用最大堆来动态维护当前的最高建筑物高度。在每个关键点记录下当前的天际线高度变化，从而绘制出天际线。

问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？

回答：通过遍历所有的建筑物边缘，维护最大堆，并在每个关键点记录下当前的天际线高度变化，确保返回的结果是正确的。可以通过测试案例验证结果。

问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？

回答：在面试中，如果面试官问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的瓶颈，如时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，可以通过减少不必要的操作和优化数据结构来提高性能。解释其原理和优势，最后提供优化后的代码实现。

问题 8：如何验证代码的正确性？

回答：通过运行代码并查看结果，验证返回的天际线是否正确。可以使用多组测试数据，包括正常情况和边界情况，确保代码在各种情况下都能正确运行。例如，可以在测试数据中包含多个不同的建筑物，确保代码结果正确。

问题 9：你能解释一下解决天际线问题的重要性吗？

回答：解决天际线问题在计算几何和图形学中具有重要意义。通过学习和应用扫描线算法和堆，可以提高处理复杂几何问题和动态数据结构的能力。在实际应用中，天际线问题广泛用于城市规划、建筑设计和数据可视化等领域。

问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？

回答：算法的性能取决于建筑物的数量。在处理大数据集时，通过优化扫描线算法和堆的实现，可以显著提高算法的性能。例如，通过减少不必要的操作和优化堆操作，可以减少时间和空间复杂度，从而提高算法的效率。

总结

本文详细解读了力扣第218题“天际线问题”，通过使用扫描线算法和堆的方法高效地解决了这一问题，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。