matlab最优化工具箱

一、实验目的（一）

通过一个农业生产计划优化安排的实例求解，培养学生解决实际线性规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。

二、实验内容（一）

某村计划在100公顷的土地上种植a、b、c三种农作物。可以提供的劳力、粪肥和化肥等资源的数量，种植每公顷农作物所需这三种资源的数量。

其中一个劳动力干一天为1个工。现在要求为该村制定一个农作物的种植计划，确定每种农作物的种植面积，使得总利润最大。

建立线性规划的数学模型；

安装Matlab优化工具箱，并学习工具箱中求解线性规划的函数；

利用Matlab优化工具箱解线性规划问题。

c=[1500 1200 1800]';
A=[450 600 900;35 25 30;350 400 300];
b=[63000 3300 33000]';
Ae=[];
be=[];
lb=[0 0 0]';
ub=[];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(-c,A,b,Ae,be,lb,ub);

结果

x =
    60
     0
    40
ans =
      162000

四、实验目的（二）

通过一个投资组合优化问题的实例求解，培养学生解决实际二次规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。

五、实验内容（二）

求解从一点(0,0,0)到超平面的最短距离，

其中，。

通过建模构造二次规划问题，求解以上问题的最优解和最优值。

六、算法步骤、代码、及结果（二）

   1. 算法步骤

在这个问题中，我们要优化的目标是点到超平面的距离，即

minimize: (1/2) * x’ * Q * x + c’ * x
subject to: Ax = b

其中，x是超平面上任意一点的坐标向量，Q和c由目标函数决定，A和b由约束条件决定。

为了表示优化问题的目标函数和约束条件，我们需要对二次规划问题进行一些转换。首先，我们可以将距离公式中的标量乘法展开：

distance^2 = (x - P0)’ * (x - P0)

其中，P0是超平面上到点（0，0，0）最近的一点，可以通过求解Ax=b得到。将上面的公式展开得到：

distance^2 = x’ * x - 2 * P0’ * x + P0’ * P0

因此，目标函数可以表示为：

0.5 * x’ * x - P0’ * x

其中，Q = I和c = -P0。同时，约束条件为Ax=b。

   2. 代码

function distance = point_to_hyperplane_qp(A, b)
  n = null(A)';
  P0 = A \ b;
  Q = eye(3);
  c = -P0';
  Aeq = A;
  beq = b;
  x0 = [0; 0; 0];
  options = optimoptions('quadprog', 'Algorithm', 'interior-point-convex');
  [x, ~, ~, ~, ~] = quadprog(Q, c, [], [], Aeq, beq, [], [], x0, options);
  distance = norm(x);
end
>> A = [1 2 -1; -1 1 -1];
>> b = [4; 2];
>> point_to_hyperplane_qp(A, b)

结果

ans =
    1.7321