5.6

题目：

实验五：MATLAB最优化工具箱的使用

（1）线性规划应用案例的求解

1、基本要求

通过一个农业生产计划优化安排的实例求解，培养学生解决实际线性规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。

2、主要内容

某村计划在100公顷的土地上种植a、b、c三种农作物。可以提供的劳力、粪肥和化肥等资源的数量，种植每公顷农作物所需这三种资源的数量，以及能够获得的利润如表所示。

种植投入产出表

其中一个劳动力干一天为1个工。现在要求为该村制定一个农作物的种植计划，确定每种农作物的种植面积，使得总利润最大。

3、操作要点

（1）建立线性规划的数学模型；

（2）安装Matlab优化工具箱（Optimization Toolbox），并学习工具箱中求解线性规划的函数；

（3）利用Matlab优化工具箱解线性规划问题。

（4）运行该程序，在命令窗记录下最优解x和对应的最优值fval。

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

4、主要仪器设备

微机及Matlab软件

（2）二次规划应用案例的求解

1、基本要求

通过一个投资组合优化问题的实例求解，培养学生解决实际二次规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。

2、上机主要内容

求解从一点(0,0,0)到超平面的最短距离，

其中，，。

通过建模构造二次规划问题，求解以上问题的最优解和最优值。

3、操作要点

（1）建立二次规划的数学模型；

（2）安装Matlab优化工具箱（Optimization Toolbox），并学习工具箱中求解二次规划的函数；

（3）利用Matlab优化工具箱解二次规划问题。

（4）运行该程序，在命令窗记录下最优解x和对应的最优值fval。

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

4、主要仪器设备

微机及Matlab软件

 代码：

1. 算法步骤

1. 算法步骤

1. 定义变量

设 x1, x2, x3 分别为 a, b, c 三种农作物的种植面积（公顷）。

2. 建立目标函数

目标函数是最大化总利润，可以表示为：

Z = 1500x1 + 1200x2 + 1800x3

3. 建立约束条件

根据题目给出的资源限制，我们可以建立以下约束条件：

用工限制：450x1 + 600x2 + 900x3 ≤ 63000

粪肥限制：35x1 + 25x2 + 30x3 ≤ 3300

化肥限制：350x1 + 400x2 + 300x3 ≤ 33000

种植面积限制（非负且总和为100公顷）：x1, x2, x3 ≥ 0 且 x1 + x2 + x3 = 100

4. 使用MATLAB求解

在MATLAB中，我们可以使用linprog函数来求解线性规划问题。首先，我们需要将问题转化为linprog的标准形式：

min -Z

s.t. Ax ≤ b

Aeqx = beq

lb ≤ x ≤ ub

其中，A 和 b 是线性不等式约束的系数和右侧值，Aeq 和 beq 是线性等式约束的系数和右侧值，lb 和 ub 是变量的下界和上界。

2. 代码

% 定义目标函数的系数（注意：linprog默认求解最小化问题，所以我们取负号）

f = [-1500; -1200; -1800];

% 定义不等式约束的系数和右侧值

A = [450, 600, 900;

35, 25, 30;

350, 400, 300];

b = [63000; 3300; 33000];

% 定义等式约束的系数和右侧值（种植面积总和为100公顷）

Aeq = [1, 1, 1];

beq = 100;

% 定义变量的下界和上界（这里只有下界，上界可以设为inf）

lb = [0; 0; 0];

ub = [inf; inf; inf];

% 调用linprog函数求解

[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

% 输出结果

if exitflag > 0

disp('Optimal solution found.')

disp(['Profit: ', num2str(-fval)]) % 注意：取负号得到实际的最大利润

disp(['Area for crop a: ', num2str(x(1))])

disp(['Area for crop b: ', num2str(x(2))])

disp(['Area for crop c: ', num2str(x(3))])

else

disp('No feasible solution found.')

end

3. 结果

>> lab05

Optimal solution found.

Optimal solution found.

Profit: 162000

Area for crop a: 60

Area for crop b: 0

Area for crop c: 40