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P10432 [JOISC 2024 Day1] 滑雪 2

感觉是挺好的观察性质题，vp 的时候场切了。

首先酒店一定是建在最低的某一个点。把高度离散化之后，把点扔到对应的位置。可以发现高度为 \(i\) 的层的所有点，如果能接上一层的连接器那一定会尽量接上（因为到了下一层它本身也可以贡献一个空的连接器）。

设 \(v_i\) 是高度为 \(i\) 的点里最小的 \(C\)，则从 \(1\sim i\) 的高度中选择一个搭连接器的代价就是 \(\min_{1\leq j\leq i} v_j\)。原因很简单，\(i-1\) 层一定会有若干个未用的连接器，相同情况下肯定是对 \(C\) 较大的对他进行升高高度的操作，所以 \(C\) 最小的一定会留在当前层。

这样就可以 DP 了。设 \(f_{i,j,k}\) 表示当前高度在第 \(i\) 层，前 \(i-1\) 层有 \(j\) 个连接器可用，并且有 \(k\) 个高度小于 \(i\) 的点的高度被加到了 \(i\) 的最小代价。

假设当前层有 \(x\) 个点，直接把每个 \(k\) 加上 \(x\) 即可。转移可以从 \(1\sim i-1\) 新建一个连接器上来转移到 \(f_{i,j+1,k}\)，可以不再新建直接往下转移到 \(f_{i+1,j,\max(0,k-(h_{i+1}-h_i-1)\times j)}\)。总复杂度是 \(\mathcal O(n^3)\)。

有一个小细节，因为 \(i\) 层加连接器的时候只能从前 \(i-1\) 层建，所以离散化的数组里不仅需要有 \(h_j\)，还应有 \(h_{j+1}\)。代码找不到了 QwQ。