卡了 2h ，再也不想写数独了。
思路
显然是对每个格子进行枚举，类似八皇后的方法去做，朴素方法是由 \((1,1)\) 到 \((9,9)\) 遍历过去。
优化
我们人在做数独时，会优先选择已填格数多的行、列、区域，这样可以保证尝试次数少。
同样，这一点在本题中也可以应用，但是有两种思路。
- 按照行里没填的格子的个数进行从小到大排序。
- 根据单个格子可能会出现的数字的数量进行从小到大排序。
目的只有一个：减少搜索树的大小。
这里采用第二种方法，
则计算这个格子可能的数字，就是竖向的数字、横向的数字、区域的数字以外的数字。
因此，我们将这三种数字开个 bitset ，然后分别或一下，结果为 \(ans\) ，如果 \(ans[i]=0\) ，则证明可以填这个数。
bitset 可以用 状压 的方式优化，大幅减少常数。但我写的位运算版还没 bitset 版跑得快。
然后还要注意，如果搜到结果，直接 exit(0) 就好。
注意把 sort 改成 stable_sort ，因为尽可能要连续填。
于是就把数独过了。
数独代码：
第一种，bitset 版 ，跑洛谷的点很快，比位运算版要快：610ms
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15];
bitset<15>xvis[15],yvis[15],svis[15];
int s(int x,int y)
{
return ((x-1)/3*3+(y+2)/3);
}
int cg(int x,int y)
{
bitset<15>ans;
int res=0;
ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[s(x,y)];
for(int i=1;i<=9;i++)if(ans[i]==0)res++;
return res;
}
struct tile{
int x,y,g;
};
vector<tile>vct;
bool cmp(tile a,tile b)
{
return a.g<b.g;
}
void outp()
{
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
cout<<a[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
}
void dfs(int now)
{
if(now>=vct.size())
{
outp();
exit(0);
}
int x=vct[now].x,y=vct[now].y;
bitset<15>ans;
ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[s(x,y)];
for(int i=1;i<=9;i++)
{
if(ans[i]==0)
{
svis[s(x,y)][i]=1;
xvis[x][i]=1;
yvis[y][i]=1;
a[x][y]=i;
dfs(now+1);
svis[s(x,y)][i]=0;
xvis[x][i]=0;
yvis[y][i]=0;
a[x][y]=0;
}
}
}
int main()
{
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
cin>>a[i][j];
if(a[i][j]!=0)
{
svis[s(i,j)][a[i][j]]=1;
xvis[i][a[i][j]]=1;
yvis[j][a[i][j]]=1;
}
}
}
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
if(a[i][j]!=0)continue;
tile tmp;
tmp.x=i,tmp.y=j;
tmp.g=cg(i,j);
if(tmp.g!=0)vct.push_back(tmp);
}
}
stable_sort(vct.begin(),vct.end(),cmp);
dfs(0);
return 0;
}
第二种代码，位运算版，实际比 bitset 慢：3.28s
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15];
int xvis[15],yvis[15],svis[15];
int s(int x,int y)
{
return ((x-1)/3*3+(y+2)/3);
}
int cg(int x,int y)
{
int ans;
int res=0;
ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[s(x,y)];
for(int i=1;i<=9;i++)if(ans>>i==0)res++;
return res;
}
struct tile{
int x,y,g;
};
vector<tile>vct;
bool cmp(tile a,tile b)
{
return a.g<b.g;
}
void outp()
{
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
cout<<a[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
}
void dfs(int now)
{
if(now>=vct.size())
{
outp();
exit(0);
}
int x=vct[now].x,y=vct[now].y;
int tmps=s(x,y);
int ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[tmps];
for(int i=1;i<=9;i++)
{
if(((ans>>i)&1)==0)
{
xvis[x]|=(1<<i);
yvis[y]|=(1<<i);
svis[tmps]|=(1<<i);
a[x][y]=i;
dfs(now+1);
xvis[x]=(xvis[x]^(1<<i));
yvis[y]=(yvis[y]^(1<<i));
svis[tmps]=(svis[tmps]^(1<<i));
a[x][y]=0;
}
}
}
int main()
{
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
cin>>a[i][j];
if(a[i][j]!=0)
{
svis[s(i,j)]|=1<<a[i][j];
xvis[i]|=1<<a[i][j];
yvis[j]|=1<<a[i][j];
}
}
}
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
if(a[i][j]!=0)continue;
tile tmp;
tmp.x=i,tmp.y=j;
tmp.g=cg(i,j);
vct.push_back(tmp);
}
}
stable_sort(vct.begin(),vct.end(),cmp);
dfs(0);
return 0;
}
靶形数独：增加权重的数独
讲几个重要剪枝：
- 增加估价函数 \(g()\) ，计算方式为 ：当前剩下的没填的格子数\(*\)当前没填的数字的和\(*9+\)先前加过的分 。当估价函数小于当前答案时，直接剪枝。（ \(9\) 是一个乐观期望的值）
- 化 vector 为普通数组。
- 乱搞排序，先按能填的个数从小到大排，再按横坐标从右到左排。这个方法不适用所有题，只是针对 ccf 的数据。
- 位运算，这里的位运算是要比 bitset 快的。
- stable_sort 。
这里不能搜到结果就直接结束，因为要使结果最大。
代码如下，本题没有完美的做法：1.77s，还是比较快的。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15],ans=-1,lst=81,cnt=0;
int xvis[15],yvis[15],svis[15];
int w[15][15]={{},{0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},{0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},{0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},{0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},{0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},{0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},{0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},{0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},{0,6,6,6,6,6,6,6,6,6}};
inline int s(int x,int y)
{
return ((x-1)/3*3+(y+2)/3);
}
int cg(int x,int y)
{
int ans;
int res=0;
ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[s(x,y)];
for(int i=1;i<=9;i++)if(ans>>i==0)res++;
return res;
}
struct tile{
int x,y,g;
};
tile vct[105];
bool cmp(tile a,tile b)
{
if(a.g!=b.g)return a.g<b.g;
return a.x>b.x;
}
void dfs(int now,int sw,int lsm)
{
if(now>=cnt)
{
ans=max(ans,sw);
return;
}
if(sw+9*lsm*lst<ans)return;
int x=vct[now].x,y=vct[now].y;
int tmps=s(x,y);
int ans=xvis[x]|yvis[y]|svis[tmps];
for(int i=9;i>=1;--i)
{
if(((ans>>i)&1)==0)
{
xvis[x]|=(1<<i);
yvis[y]|=(1<<i);
svis[tmps]|=(1<<i);
a[x][y]=i;
--lst;
dfs(now+1,sw+i*w[x][y],lsm-i);
xvis[x]=(xvis[x]^(1<<i));
yvis[y]=(yvis[y]^(1<<i));
svis[tmps]=(svis[tmps]^(1<<i));
a[x][y]=0;
++lst;
}
}
}
int main()
{
int lsm=405,prsum=0;
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
cin>>a[i][j];
if(a[i][j]!=0)
{
svis[s(i,j)]|=1<<a[i][j];
xvis[i]|=1<<a[i][j];
yvis[j]|=1<<a[i][j];
lst--;
lsm-=a[i][j];
prsum+=w[i][j]*a[i][j];
}
}
}
for(int i=1;i<=9;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
if(a[i][j]!=0)continue;
tile tmp;
tmp.x=i,tmp.y=j;
tmp.g=cg(i,j);
vct[cnt++]=tmp;
}
}
stable_sort(vct,vct+cnt,cmp);
dfs(0,prsum,lsm);
cout<<ans;
return 0;
}