日常项目开发中，一般流程是产品经理提出需求，相关人员进行需求评审，然后是前后端工程师开发功能，再到测试、发布上线。
流程如下：
图-1
可以看到，这些步骤是存在先后（依赖）关系的：前后端的开发依赖于需求评审，测试又依赖前后端开发。不可能需求还没评审，工程师就开始开发。
其次，这些步骤之间不能存在相互依赖，例如需求评审又依赖测试，这样就没法执行下去了。
图-2
我们把满足这些特性的流程称为AOV网（Activity On Vertex Network），步骤可以看作是一个个活动（activity），用图的顶点（vertex）来表示。对应到图的数据结构，是一张带有方向的且无环（无相互依赖）的有向无环图（Directed Acyclic Graph），简称DAG。
* AOE网是用边来表示活动（Activity On Edge Network）
根据这种有向无环图（DAG）生成的各顶点（活动）的依赖序列，我们称为拓扑排序（Topologial Sort）。
可以看到这里的排序是基于依赖关系的，不同于之前介绍的冒泡、快速排序等这种基于大小的排序。而拓扑的意思，根据Kahn发表的“Topological Sorting of Large Networks”一文，应该是解决计算机网络结构中的“拓扑”，倾向于计算机网络中表示各个网络节点关系的拓扑图。
下面介绍两种拓扑排序的算法
一、卡恩算法（Kahn's algorithm）
该方法理解起来比较简单，主要流程是先计算出每个顶点依赖的顶点个数，或者叫顶点的入度（indegree），从没有依赖其他顶点的顶点a（即入度为0的顶点）开始处理，处理完毕同时把依赖此顶点a的对应顶点数量减一。之后再计算出一个没有依赖的顶点，再把对应顶点数量减一，直到处理完全部顶点。
二、深度优先搜索（Depth First Search）
深度优先搜索只是一个单纯的遍历，怎么会满足拓扑排序呢？我们先回顾下深度优先搜索的流程，如图-3
图-3
可以看到深度优先是优先往一条路径的深层搜索，当到达最底层顶点c后，再回到上一层b，访问b对应的d，之后再回到b，由于b对应的顶点都已经访问过，则回溯至a，a还有未访问的顶点e，e再下探至f。第一次到达最底层的顶点c，一定是此路径的终点，从依赖的角度看，必然为依赖的最后一步。当本层顶点全部遍历完毕后，才会回到上层顶点，相当于以上层顶点为依赖的顶点已经遍历完成。如图-3中，b指向的c d，即c d依赖b。按照c d b访问顺序存储，再按照倒序的b d c输出，就实现了依赖的排序。
可见实现了图的深度优先搜索，也就得到了拓扑排序的结果。不过要优先保存最底层的顶点，且需要考虑环的问题。
以下为两种算法的实现代码和输出说明，演示图数据如下。
图-4
图-4演示数据参考于https://www.bilibili.com/video/BV1uf4y1U7DX
1 import java.util.*;
2
3 public class TopologicalSort {
4 private int vertexNum;
5 private List<Integer>[] graph;
6
7 private boolean[] visited;
8 private boolean[] search;
9 private Stack<Integer> dfsSort;
10
11 public static void main(String[] args) {
12 TopologicalSort tsk = new TopologicalSort();
13 tsk.initDemo();
14 tsk.print();
15
16 System.out.println("[Kahn]");
17 tsk.kahn();
18 System.out.println("[DFS]");
19 tsk.dfs();
20 }
21
22 public void kahn() {
23 //计算每个顶点的入度（即指向此顶点的边的数量，也就是依赖的顶点数）
24 int[] indegree = new int[vertexNum];
25 for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
26 for (int vertex : graph[i]) {
27 indegree[vertex]++;
28 }
29 }
30 //初始入度为0的顶点
31 Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
32 for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
33 if (indegree[i] == 0) {
34 queue.add(i);
35 }
36 }
37 System.out.println("indegree " + Arrays.toString(indegree) + " queue " + queue);
38
39 //排序结果
40 List<Integer> sort = new ArrayList<>();
41 while (!queue.isEmpty()) {
42 //取出一个入度为0的顶点
43 int zero = queue.poll();
44 //并保存到排序结果中
45 sort.add(zero);
46 System.out.println("zero " + zero + " adjacent " + graph[zero]);
47 //依赖此顶点的顶点入度减一（即以此顶点开始的边）
48 for (int adjacent : graph[zero]) {
49 indegree[adjacent]--;
50 if (indegree[adjacent] == 0) {
51 System.out.println("enqueue <- " + adjacent);
52 queue.add(adjacent);
53 }
54 }
55 System.out.println("indegree " + Arrays.toString(indegree) + " queue " + queue);
56 }
57 //排序结果集个数小于顶点数量，说明存在环（即顶点的入度都大于0）
58 if (sort.size() < vertexNum) {
59 System.out.println("cycle in the graph!");
60 } else {
61 System.out.println(sort);
62 }
63 }
64
65 public void dfs() {
66 //保存顶点是否访问过
67 visited = new boolean[vertexNum];
68 //保存顶点是否正在搜索，用于环的判断
69 search = new boolean[vertexNum];
70 //排序结果
71 dfsSort = new Stack<>();
72
73 //顶点依次遍历
74 for (int v = 0; v < vertexNum; v++) {
75 if (!visited[v]) {
76 traversal(v);
77 }
78 }
79 //排序结果输出
80 while (!dfsSort.empty()) {
81 System.out.print(dfsSort.pop() + " ");
82 }
83 }
84
85 private void traversal(int vertex) {
86 //标记为已访问
87 visited[vertex] = true;
88 //标记为搜索中
89 search[vertex] = true;
90 System.out.printf("%s start-> adjacent %s visited %s dfsSort %s search %s\n", vertex, graph[vertex], Arrays.toString(visited), dfsSort, Arrays.toString(search));
91
92 for (int i : graph[vertex]) {
93 //环的存在会导致顶点处于搜索状态时再次搜索
94 if (search[i]) {
95 throw new RuntimeException("vertex " + i + ", cycle in the graph!");
96 }
97 if (!visited[i]) {
98 traversal(i);
99 } else {
100 System.out.println("skip " + i);
101 }
102 }
103 //标记为搜索结束
104 search[vertex] = false;
105 //搜索结束同时添加到结果集
106 dfsSort.add(vertex);
107 System.out.printf("%s <-end adjacent %s visited %s dfsSort %s search %s\n", vertex, graph[vertex], Arrays.toString(visited), dfsSort, Arrays.toString(search));
108 }
109
110 public void print() {
111 System.out.println("[graph]");
112 int index = 0;
113 for (List<Integer> arrayList : graph) {
114 System.out.println(index + " " + arrayList);
115 index++;
116 }
117 }
118
119 public void initDemo() {
120 this.vertexNum = 9;
121 graph = new ArrayList[vertexNum];
122 for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
123 graph[i] = new ArrayList<>();
124 }
125 addEdge(0, 2, 7);
126 addEdge(1, 2, 3, 4);
127 addEdge(2, 3);
128 addEdge(3, 5, 6);
129 addEdge(4, 5);
130 addEdge(7, 8);
131 addEdge(8, 6);
132 //cyclic
133 //addEdge(5, 1);
134 }
135
136 private void addEdge(int a, int... b) {
137 for (int i : b) {
138 graph[a].add(i);
139 }
140 }
141 }
输出
[graph] 0 [2, 7] 1 [2, 3, 4] 2 [3] 3 [5, 6] 4 [5] 5 [] 6 [] 7 [8] 8 [6] [Kahn] indegree [0, 0, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1] queue [0, 1] zero 0 adjacent [2, 7] enqueue <- 7 indegree [0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 1] queue [1, 7] zero 1 adjacent [2, 3, 4] enqueue <- 2 enqueue <- 4 indegree [0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 1] queue [7, 2, 4] zero 7 adjacent [8] enqueue <- 8 indegree [0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0] queue [2, 4, 8] zero 2 adjacent [3] enqueue <- 3 indegree [0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0] queue [4, 8, 3] zero 4 adjacent [5] indegree [0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0] queue [8, 3] zero 8 adjacent [6] indegree [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0] queue [3] zero 3 adjacent [5, 6] enqueue <- 5 enqueue <- 6 indegree [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] queue [5, 6] zero 5 adjacent [] indegree [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] queue [6] zero 6 adjacent [] indegree [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] queue [] [0, 1, 7, 2, 4, 8, 3, 5, 6] [DFS] 0 start-> adjacent [2, 7] visited [true, false, false, false, false, false, false, false, false] dfsSort [] search [true, false, false, false, false, false, false, false, false] 2 start-> adjacent [3] visited [true, false, true, false, false, false, false, false, false] dfsSort [] search [true, false, true, false, false, false, false, false, false] 3 start-> adjacent [5, 6] visited [true, false, true, true, false, false, false, false, false] dfsSort [] search [true, false, true, true, false, false, false, false, false] 5 start-> adjacent [] visited [true, false, true, true, false, true, false, false, false] dfsSort [] search [true, false, true, true, false, true, false, false, false] 5 <-end adjacent [] visited [true, false, true, true, false, true, false, false, false] dfsSort [5] search [true, false, true, true, false, false, false, false, false] 6 start-> adjacent [] visited [true, false, true, true, false, true, true, false, false] dfsSort [5] search [true, false, true, true, false, false, true, false, false] 6 <-end adjacent [] visited [true, false, true, true, false, true, true, false, false] dfsSort [5, 6] search [true, false, true, true, false, false, false, false, false] 3 <-end adjacent [5, 6] visited [true, false, true, true, false, true, true, false, false] dfsSort [5, 6, 3] search [true, false, true, false, false, false, false, false, false] 2 <-end adjacent [3] visited [true, false, true, true, false, true, true, false, false] dfsSort [5, 6, 3, 2] search [true, false, false, false, false, false, false, false, false] 7 start-> adjacent [8] visited [true, false, true, true, false, true, true, true, false] dfsSort [5, 6, 3, 2] search [true, false, false, false, false, false, false, true, false] 8 start-> adjacent [6] visited [true, false, true, true, false, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2] search [true, false, false, false, false, false, false, true, true] skip 6 8 <-end adjacent [6] visited [true, false, true, true, false, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8] search [true, false, false, false, false, false, false, true, false] 7 <-end adjacent [8] visited [true, false, true, true, false, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7] search [true, false, false, false, false, false, false, false, false] 0 <-end adjacent [2, 7] visited [true, false, true, true, false, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7, 0] search [false, false, false, false, false, false, false, false, false] 1 start-> adjacent [2, 3, 4] visited [true, true, true, true, false, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7, 0] search [false, true, false, false, false, false, false, false, false] skip 2 skip 3 4 start-> adjacent [5] visited [true, true, true, true, true, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7, 0] search [false, true, false, false, true, false, false, false, false] skip 5 4 <-end adjacent [5] visited [true, true, true, true, true, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7, 0, 4] search [false, true, false, false, false, false, false, false, false] 1 <-end adjacent [2, 3, 4] visited [true, true, true, true, true, true, true, true, true] dfsSort [5, 6, 3, 2, 8, 7, 0, 4, 1] search [false, false, false, false, false, false, false, false, false] 1 4 0 7 8 2 3 6 5
卡恩算法示意图-5
图-5
深度优先搜索算法示意图-6
图-6
可以看到两种算法对环的检测机制是不同的，卡恩算法是通过计算每个顶点的入度，入度为0即不存在依赖，如果最终仍然存在入度不是0的节点，必然存在环。
深度优先搜索算法中，由于是递归调用，顶点开始搜索时把状态标记为搜索中，一直到本次递归结束后才会更新为搜索结束，遍历期间如果这个开始顶点再次出现，则说明必然存在环。
如图-7，当顶点1开始后被标记为搜索中，到达4，再到达5，而5存在指向1的边，再到达顶点1时，发现1的状态已经时搜索中了，说明这里出现了环。也就是我们需要区分出正常的回溯和环导致的重新访问。
图-7
递归方式（代码的98行traversal方法）乍一看可能不太容易理解，看一下算法的输出内容图-8就很容易明白了，这里我增加了缩进，方便观察层次关系。可以认为是大循环里套了小循环，等小循环完毕大循环才能结束。0可以认为是最外侧的大循环，里面又开始了2、7，2里面又开始了3，3里面又开始了5、6……但不管小循环如何再嵌套，只有全部完成后大循环才能结束。
图-8
拓扑的扩展阅读
参考资料
Kahn, Arthur B."Topological sorting of large networks"
Topological Sorting using Depth First Search (DFS)
Topological Sort using Breadth First Search (BFS)
标签：false,拓扑,dfsSort,adjacent,visited,顶点,排序,true From： https://www.cnblogs.com/binary220615/p/16584803.html