吴恩达机器学习 week1 一元回归模型的成本函数

01 学习目标

       学习建立一元线性回归模型的成本函数

02 实现工具

    （1）代码运行环境

              Python语言，Jupyter notebook平台

    （2）所需模块

             NumPy，Matplotlib，lab_utils_uni

            （lab_utils_uni是课程中用于绘制复杂图形的安装包）

03 问题陈述

       问题需求为：根据二手房交易平台已成交的既有数据，建立准确的回归模型。

       我们的任务：建立成本函数，并依次确定回归模型的参数。

04 构建成本函数

      （1）导入所需模块

import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_uni import plt_intuition, plt_stationary, plt_update_onclick, soup_bowl
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

      （deeplearning.mplstyle为课程中使用的样式文件，见前1篇文章；%matplotlib widget为导入matplotlib的交互式绘图功能，需要jupyter支持最新版本的ipympl模块，可通过“pip install --upgrade ipympl”更新）

     （2）读取“数据集”，并绘于图中

# x_train为输入变量，其变量值为房子面积，单位：平方米
# y_train为目标变量，其变量值为房子成交价，单位：万
x_train = np.array([100, 170, 200, 250, 300, 320])
y_train = np.array([250, 300, 480,  430,   630, 730])

# 采用散点图绘出数据
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r')
# 设置标题
plt.title("Housing Prices")
# y-axis label
plt.ylabel('Price (w)')
# x-axis label
plt.xlabel('Size (m^2)')
plt.show()

          运行以上代码，结果为：

（3）建立回归模型的成本函数

         首先写出一元线性回归线性模型。这次，参数w和b不再赋值：

        然后根据定义构建成本函数：

       即为成本值，表示为模型预测值与真实值之差平方的平均值，J受参数w和b影响。

       接着，在jupyter中用定义函数的形式定义成本函数，以便适于大量数据计算：

def compute_cost(x, y, w, b): 
    """
    Computes the cost function for linear regression.
    
    Args:
      x (ndarray (m,)): Data, m examples 
      y (ndarray (m,)): target values
      w,b (scalar)    : model parameters  
    
    Returns
        total_cost (float): The cost of using w,b as the parameters for linear regression
               to fit the data points in x and y
    """
    # number of training examples
    m = x.shape[0] 
    
    cost_sum = 0 
    for i in range(m): 
        f_wb = w * x[i] + b   
        cost = (f_wb - y[i]) ** 2  
        cost_sum = cost_sum + cost  
    total_cost = (1 / (2 * m)) * cost_sum  

    return total_cost

        这里，为理解成本函数的几何意义，给出下图：

       上图中左侧的蓝色竖线即为“损失”（loss），所有“损失”的平方的平均值即为“成本”（cost）。右侧曲线即为成本函数的图形，我们构建成本函数的目的即在于找出图的最小值，此时可得到最优的回归模型。同理，不过图为二维曲线，图为三维曲面。

05 成本函数优化（参数优化）

       绘出线性回归模型和成本函数图形：

plt.close('all') 
fig, ax, dyn_items = plt_stationary(x_train, y_train)
updater = plt_update_onclick(fig, ax, x_train, y_train, dyn_items)

       运行以上代码，结果为：

        图中，上左图为回归模型的预测效果，上右图为交互图（用于鼠标点选w和b后观察上左图的预测效果），下图为成本函数的三维曲面图（图中显示由（w,b）确定的点）。

     （本文为述清概念简化为通过点选（优化）确定参数w和b，科学的确定方法后文涉及。）

       上图中成本函数仅显示局部，实际的成本函数如下：

06 总结

    （1）建立成本函数的目的为衡量回归模型的预测效果（即“成本”大小），确定最优的模型参数

    （2）“成本”（cost）是针对全部“训练数据集”而言，对应函数为成本函数；“损失”（loss）是针对单个数据而言，对应函数为损失函数