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P9175 [COCI2022-2023#4] Mreža 题解

时间：2024-05-14 20:41:25浏览次数：14  
标签：COCI2022 qr idx int 题解 复杂度 pa Mre define

P9175 [COCI2022-2023#4] Mreža 题解

前言

我发现，有整体二分与主席树的地方总有莫队（不是那个莫队，是那个莫队）。

知识点

（树上）倍增，（树上）莫队，树状数组（“树”含量满满），分块。

题意分析

给定一棵树，每条边有一个权值 \(v\)，以及可以用一个花费 \(c\) 将它变成更大的权值 \(s\)。再给定一些询问，问在总花费不超过一个值 \(e\) 的情况下进行改变，节点 \(a\) 与 \(b\) 之间的边的权值最小值最大为多少。

思路分析

对于每一次询问，我们肯定是节点 \(a\) 与 \(b\) 之间边权最小的边不停更新，直到不能更新。基于这个思路，Subtask 1 已经可以解决了。

但是下一步怎么优化呢？我们可以想到，可以先将原边权离散化，然后根据离散化后的值排序，然后每次查询就变成了在这个数组上从大到小遍历，加上在节点 \(a\) 与 \(b\) 之间路径上的边的权值，直到总和大于 \(e\)，这个过程我们可以用树状数组解决，更新时间复杂度为 \(O(\log_2{n})\)，然后可以树状数组上倍增查询，时间复杂度也为 \(O(\log_2{n})\)（你可以换用分块，这样就可以变成更新时间复杂度为 \(O(1)\)，查询时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)，总体理论时间复杂度会更加正确）。

然后 Subtask 2 的部分就直接套莫队，也紧接着迎刃而解了。

剩下 Subtask 3，我们在 Subtask 2 的 基础上，用括号序把树上问题转换成序列问题，稍加改进，整个问题就解决了。

最后还有一些细节：

  1. 对于每一次询问，答案上界是节点 \(a\) 与 \(b\) 之间所有更新后的边权最小值，这个可以用树上倍增解决。
  2. 对于每一次询问，当 \(e\) 大于更新节点 \(a\) 与 \(b\) 之间所有边权的总花费，就不需要在树状数组中查询了，否则可能导致错误。
  3. 转换成括号序后，节点 \(a\) 与 \(b\) 为祖孙关系时询问区间要特殊处理。

关于复杂度

空间复杂度上主要瓶颈是倍增数组，为 \(O(n\log_2{n})\)。

那么我们来看时间复杂度。

对于莫队部分，这里简单分析一下：

设 \(S\) 为单块大小，那么块数为 \(O(\frac{n}{S})\) 级别。每次左端点最大移动次数级别为 \(O(S)\)；在左端点在同一块内时，右端点最大移动次数级别为 \(O(n)\)。

所以莫队部分左右端点（指针）移动次数大概为 \(O(qS+\frac{n^2}{S})\)，在 \(S\) 取 \(\frac{n}{\sqrt{q}}\) 的时候最小平衡到 \(O(n\sqrt{q})\)。

然后再分别讨论树状树组与分块的时间复杂度：

  1. 树状树组：单次更新 \(O(\log_2{n})\)，查询 \(O(\log_2{n})\)，总时间复杂度在 \(O(n\log_2{n}\sqrt{q}+q\log_2{n})\) 左右；
  2. 分块：单次更新 \(O(1)\)，查询 \(O(\sqrt{n})\)，总时间复杂度在 \(O(n\sqrt{q}+q\sqrt{n})\) 左右。

首先分块肯定没问题，但是树状数组呢，它的理论总时间复杂度好像不太行啊？

我们注意到莫队这类题目的时间复杂度一般都是讨论最坏情况，所以基本都是跑不满的，再加之这还是个树上莫队，真的要卡它也很难。就算是链，我们在块长不一样的情况下，运行的情况也是不一样的。如果还不够的话，我们在规定根以及遍历子节点的时候都加上随机化，那么基本是卡不掉了（喜欢快读快写也可以加）。

现在看实测，最长的点时间也不超过 1.5 s，而时限是 5 s，说明 COCI 出题人还有点良心 完全可以。

CODE

  1. 树状树组：（去掉了快读，不是上面那个）用时 2.45 s，内存 33.40 MB，单个测试点最长时间为 1.57 s。

    #include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define tomax(a,b) ((a)=max((a),(b)))
#define tomin(a,b) ((a)=min((a),(b)))
#define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define EDGE(g,i,u,x) for(register int (i)=(g).h[(u)],(x)=(g).v[(i)];(i);(i)=(g).nxt[(i)],(x)=(g).v[(i)])
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N=1e5+10,lN=17,lV=lN+1;
int n,Q,idx,Bl;
int b[N],dl[N],dr[N],id[N<<1],pa[N],ans[N],dep[N],dfn[N<<1],siz[N],son[N];
int fa[N][lV],mi[N][lV];
ll sum;
struct edge{
	int u,v,w,c,s;
	void Scan(){
		cin>>u>>v>>w>>c>>s;
	}
}e[N];
struct Query{
	int l,r,idx;ll w;
	friend bool operator <(Query a,Query b){
		return id[a.l]^id[b.l]?a.l<b.l:(id[a.l]&1)^(a.r>b.r);
	}
}qr[N];
struct BIT{
#define lowbit(a) ((a)&-(a))
	ll c[N];
	void Update(int x,int v){
		if(x<=0)return;
		for(int i=x;i<=b[0];i+=lowbit(i))c[i]+=v;
	}
	int Bound(ll x){
		ll sum=0;int ans=0;
		DOR(i,lN,0)if(ans+(1<<i)<=b[0]&&sum+c[ans+(1<<i)]<x)sum+=c[ans+=1<<i];
		return ans+1;
	}
#undef lowbit
}B;
struct CFS{
	int tot,h[N],v[N<<1],nxt[N<<1];
	void att(int U,int V){
		v[++tot]=V,nxt[tot]=h[U],h[U]=tot;
	}
	void con(int U,int V){
		att(U,V),att(V,U);
	}
}g;
void Build(int u){
	dep[u]=dep[fa[u][0]]+1,mi[u][0]=e[pa[u]].s,siz[u]=1;
	FOR(i,1,lN)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1],mi[u][i]=min(mi[u][i-1],mi[fa[u][i-1]][i-1]);
	EDGE(g,i,u,v)if(v^fa[u][0])
		pa[v]=i+1>>1,fa[v][0]=u,Build(v),siz[u]+=siz[v],son[u]=(siz[son[u]]>siz[v]?son[u]:v);
}
void Divide(int u){
	dfn[dl[u]=++idx]=u;
	if(son[u])Divide(son[u]);
	EDGE(g,i,u,v)if(son[u]!=v&&fa[u][0]!=v)Divide(v);
	dfn[dr[u]=++idx]=u;
}
int Lca(int u,int v){
	if(dep[v]<dep[u])swap(u,v);
	DOR(i,lN,0)if(dep[v]-dep[u]&1<<i)v=fa[v][i];
	if(u==v)return u;
	DOR(i,lN,0)if(fa[u][i]^fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[v][0];
}
int Query(int u,int pa){
	int ans=INF;
	DOR(i,lN,0)if(dep[fa[u][i]]>=dep[pa])tomin(ans,mi[u][i]),u=fa[u][i];
	return ans;
}
bool vis[N];
void Update(int x){
	if(x>1)sum+=(vis[x]?-1:1)*e[pa[x]].c,B.Update(e[pa[x]].w,(vis[x]?-1:1)*e[pa[x]].c),vis[x]^=1;
}
signed main(){
	cin>>n;
	FOR(i,1,n-1)e[i].Scan(),g.con(e[i].u,e[i].v),b[i]=e[i].w;
	sort(b+1,b+n),b[0]=unique(b+1,b+n)-b-1;
	FOR(i,1,n-1)e[i].w=lower_bound(b+1,b+b[0]+1,e[i].w)-b;
	cin>>Q,Build(1),Divide(1),Bl=ceil(2.0*n/sqrt(Q));
	FOR(i,1,n<<1)id[i]=(i-1)/Bl+1;
	FOR(i,1,Q){
		int u,v,pa;cin>>u>>v>>qr[i].w,pa=Lca(u,v);
		if(dl[u]>dl[v])swap(u,v);
		qr[i].l=pa==u?dl[u]+1:dr[u],qr[i].r=dl[v],ans[qr[i].idx=i]=min(Query(u,pa),Query(v,pa));
	}
	sort(qr+1,qr+Q+1);
	int l=1,r=0;
	FOR(i,1,Q){
		while(r<qr[i].r)Update(dfn[++r]);
		while(l>qr[i].l)Update(dfn[--l]);
		while(r>qr[i].r)Update(dfn[r--]);
		while(l<qr[i].l)Update(dfn[l++]);
		if(qr[i].w<sum)tomin(ans[qr[i].idx],b[B.Bound(qr[i].w+1)]);
	}
	FOR(i,1,Q)cout<<ans[i]<<endl;
	return 0;
}

  2. 分块：（卑微的记录.）用时 1.15 s，内存 33.73 MB，单个测试点最长时间为 688 ms。

    #include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define tomax(a,b) ((a)=max((a),(b)))
#define tomin(a,b) ((a)=min((a),(b)))
#define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define EDGE(g,i,u,x) for(register int (i)=(g).h[(u)],(x)=(g).v[(i)];(i);(i)=(g).nxt[(i)],(x)=(g).v[(i)])
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N=1e5+10,lN=17,lV=lN+1,sN=340+10;
bool vis[N];
int n,Q,idx,Bl;
int b[N],dl[N],dr[N],id[N<<1],pa[N],ans[N],dep[N],dfn[N<<1],siz[N],son[N];
int fa[N][lV],mi[N][lV];
ll sum;
struct edge{
	int u,v,w,c,s;
	void Scan(){
		cin>>u>>v>>w>>c>>s;
	}
}e[N];
struct Query{
	int l,r,idx;ll w;
	friend bool operator <(Query a,Query b){
		return id[a.l]^id[b.l]?a.l<b.l:(id[a.l]&1)^(a.r>b.r);
	}
}qr[N];
struct Block{
	int Bl,Bn;
	int st[sN],en[sN],id[N];
	ll Sum[sN],sum[N];
	void Init(int n){
		Bl=sqrt(n),Bn=(n-1)/Bl+1;
		FOR(i,1,Bn){
			st[i]=en[i-1]+1,en[i]=min(n,st[i]+Bl-1);
			FOR(j,st[i],en[i])id[j]=i;
		}
	}
	void Update(int x,int d){
		sum[x]+=d,Sum[id[x]]+=d;
	}
	int Query(ll x){
		int Idx=0,idx=0;ll s=0;
		for(Idx=0;Idx<=Bn;s+=Sum[Idx],++Idx)if(s+Sum[Idx]>x)break;
		for(idx=st[Idx];idx<=en[Idx];s+=sum[idx],++idx)if(s+sum[idx]>x)break;
		return idx;
	}
}B;
struct CFS{
	int tot,h[N],v[N<<1],nxt[N<<1];
	void att(int U,int V){
		v[++tot]=V,nxt[tot]=h[U],h[U]=tot;
	}
	void con(int U,int V){
		att(U,V),att(V,U);
	}
}g;
void Build(int u){
	dep[u]=dep[fa[u][0]]+1,mi[u][0]=e[pa[u]].s,siz[u]=1;
	FOR(i,1,lN)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1],mi[u][i]=min(mi[u][i-1],mi[fa[u][i-1]][i-1]);
	EDGE(g,i,u,v)if(v^fa[u][0])
		pa[v]=i+1>>1,fa[v][0]=u,Build(v),siz[u]+=siz[v],son[u]=(siz[son[u]]>siz[v]?son[u]:v);
}
void Divide(int u){
	dfn[dl[u]=++idx]=u;
	if(son[u])Divide(son[u]);
	EDGE(g,i,u,v)if(son[u]!=v&&fa[u][0]!=v)Divide(v);
	dfn[dr[u]=++idx]=u;
}
int Lca(int u,int v){
	if(dep[v]<dep[u])swap(u,v);
	DOR(i,lN,0)if(dep[v]-dep[u]&1<<i)v=fa[v][i];
	if(u==v)return u;
	DOR(i,lN,0)if(fa[u][i]^fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[v][0];
}
int Query(int u,int pa){
	int ans=INF;
	DOR(i,lN,0)if(dep[fa[u][i]]>=dep[pa])tomin(ans,mi[u][i]),u=fa[u][i];
	return ans;
}
void Update(int x){
	if(x>1)sum+=(vis[x]?-1:1)*e[pa[x]].c,B.Update(e[pa[x]].w,(vis[x]?-1:1)*e[pa[x]].c),vis[x]^=1;
}
signed main(){
	cin>>n;
	FOR(i,1,n-1)e[i].Scan(),g.con(e[i].u,e[i].v),b[i]=e[i].w;
	sort(b+1,b+n),b[0]=unique(b+1,b+n)-b-1,B.Init(b[0]);
	FOR(i,1,n-1)e[i].w=lower_bound(b+1,b+b[0]+1,e[i].w)-b;
	cin>>Q,Build(1),Divide(1),Bl=ceil(2.0*n/sqrt(Q));
	FOR(i,1,n<<1)id[i]=(i-1)/Bl+1;
	FOR(i,1,Q){
		int u,v,pa;cin>>u>>v>>qr[i].w,pa=Lca(u,v);
		if(dl[u]>dl[v])swap(u,v);
		qr[i].l=pa==u?dl[u]+1:dr[u],qr[i].r=dl[v],ans[qr[i].idx=i]=min(Query(u,pa),Query(v,pa));
	}
	sort(qr+1,qr+Q+1);
	int l=1,r=0;
	FOR(i,1,Q){
		while(r<qr[i].r)Update(dfn[++r]);
		while(l>qr[i].l)Update(dfn[--l]);
		while(r>qr[i].r)Update(dfn[r--]);
		while(l<qr[i].l)Update(dfn[l++]);
		if(qr[i].w<sum)tomin(ans[qr[i].idx],b[B.Query(qr[i].w)]);
	}
	FOR(i,1,Q)cout<<ans[i]<<endl;
	return 0;
}

小小吐槽一下

我考试的时候想到了树状数组的做法，但是倍增写错了，然后就只有 Subtask 2 的分数了……（欲哭无泪）

后记

链接是不是点不进去啊？哈哈哈。 （皮一下很开心）

标签：COCI2022,qr,idx,int,题解,复杂度,pa,Mre,define
From： https://www.cnblogs.com/Cat-litter/p/18192221

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