有限群的结构

有限交换群

对于交换群而言，所有子群都是正规子群。因此，所有的商集都会形成商群。由此我们能得到关于（有限）交换群的一系列重要性质。

设\(G\)是有限交换群，\(|G|=n\)。假如存在素数\(p\)使得\(n=pm\)，则\(G\)中存在order为\(p\)的元素。为了证明这一点，我们对\(m\)归纳，并且对每个\(m\)对任意\(p\)给出证明。\(m=1\)时\(G\)是素阶群，任何非单位元的order都是\(n=p\)；假设小于\(m\)时上述性质已经成立：任取\(a\in G\)且\(a\)不是单位元，那么\(\lang a\rang \mid pm\)。记\(r=|\lang a\rang|\)，若\(p\mid r\)，则显然\(a^{r/p}\)的order就是\(p\)；若\(p\not\mid r\)，则取\(G\)的商集\(G/\lang a\rang\)。由于是交换群，任何子群都是正规子群，因此任何商集都是商群。那么\(|G/\lang a\rang|=n/r\)。因为\(|\lang a\rang|\mid pm\)而\(p\not\mid r\)，所以只能是\(r\mid m\)。因此\(|G/\lang a\rang|=p\cdot \dfrac{m}{r}\)，记\(m'=m/r\)，可以用归纳假设得到\(G/\lang a\rang\)中存在order为\(p\)的元素。也即，存在\(b\in G\)使得陪集\(b\lang a\rang\)在商群中的order为\(p\)。这意味着，\(b\not\in \lang a\rang\)（否则就有\(b\lang a\rang=\lang a\rang\)，则order为\(1<p\)），同时\(b^p\in \lang a\rang\)。那么，\((b^p)^r=(b^r)^p=e\)。这说明\(|\lang b^r\rang|\mid p\)，\(p\)是质数。只要证明\(b^r\neq e\)，我们就能说明\(b^r\)的order是\(p\)。因为\(\gcd(p,r)=1\)，根据扩展欧几里得存在\(x,y\)使得\(px+ry=1\)，这意味着\(b=b^{px+ry}=(b^p)^x\cdot b^{ry}\)。如果\(b^r=e\)，则\(b=(b^{p})^x\in \lang a\rang\)，这就与\(b\not\in\lang a\rang\)矛盾。因此\(b^r\neq e\)，证毕。

设有限交换群\(|G|=n\)，可以证明对任意满足\(m\mid n\)的\(m\)，一定存在\(H\preceq G\)使得\(|H|=m\)。而我们知道根据Lagrange定理一个有限群的子群大小只可能是\(n\)的因子，因此有限交换群具有这样的性质：每个可能大小的子群都存在。依旧，我们对\(m\)归纳，并且对每个\(m\)对任意\(n\)给出证明。\(m=1\)时\(H=\{e\}\)；假设小于\(m\)时上述性质已经成立：若\(m\)是素数，由上面的定理可知\(G\)中存在\(m\)阶元素，这个元素生成的循环群就是\(m\)阶的；若\(m\)不是素数，那么存在素因子\(p\)使得\(p\mid m\)。那么\(p\mid n\)，由上面的定理可知\(G\)中存在\(p\)阶元素\(a\)。由此可以构建商群\(G/\lang a\rang\)，其大小为\(n/p\)。因为\(p\)是\(m,n\)的公因子，且\(m\mid n\)，因此\(m/p\mid n/p\)。那么根据归纳假设，\(G/\lang a\rang\)中存在大小为\(m/p\)的子群，由自然同态\(\pi:G\to G/\lang a\rang\)的逆映射我们找到了\(G\)中大小为\((m/p)\cdot p=m\)的子群（右子群左子群），证毕。