- 理解AR模型的定义，能熟练写出AR模型的模型结构和特征方程的表达式；
- 掌握AR模型平稳性判别的三种方法，即图示法、特征根法和平稳域方法。
练习1、考察如下四个AR模型的平稳性：
利用函数arima.sim或函数filter拟合上述四个序列的序列值，绘制时序图（以2×2的结构排列），并对图形做出解释，判断该序列是否平稳。
#使用arima.sim函数产生(1)、(3)两个平稳AR模型
x1 <- arima.sim(n = 100,list(ar = 0.612))
x4 <- arima.sim(n = 100,list(ar = c(-0.1,0.72)))
#注：arima.sim函数如果指定拟合的AR模型为非平稳模型，系统会报错！
#使用filter函数产生序列(2)、(4)两个非平稳AR模型
x2 <- filter(rnorm(100),filter = 1.7,method = "recursive")
x3 <- filter(rnorm(100),filter = c(-1.9,-0.4),method = "recursive")
#绘制四个序列时序图，以2X2的结构排列
par(mfrow = c(2,2),cex = 0.6)
plot(x1)
plot(x2)
plot(x3)
plot(x4)
结果分析：
（1）模型(1)平稳，该序列始终在一个常数值0附近波动，且波动范围长期在-3至3之间，呈现出平稳序列的特征。
（2）模型(2)非平稳，该序列前期在0附近波动，但后期到80以后，呈现出指数上升的趋势，可认为是不平稳的。
（3）模型(3)非平稳，该序列前期在0附近波动，但后期到80以后，波动范围逐渐增大且无界，可认为是不平稳的。
（4）模型(4)平稳，该序列始终在一个常数值0附近波动，且波动范围长期在-3至3之间，呈现出平稳序列的特征。
练习2、利用特征根法判别练习1中四个模型的平稳性。
要求：写出特征方程或自回归系数多项式方程的具体表达式，并利用函数polyroot和函数Mod分别求方程的根和对应的模。
分析：
模型（1）：特征方程：
特征根的结果及平稳性的判别：特征根
，特征根在单位圆内，因此该AR(1)模型平稳。
模型（2）：特征方程：
特征根的结果及平稳性的判别：特征根
，特征根在单位圆外，因此该AR(1)模型不平稳。
模型（3）：特征方程：
求特征根（或因式分解过程）：
> x3 <- polyroot(c(0.4,1.9,1))
> x3
[1] -0.2411277-0i -1.6588723+0i
> Mod(x3)
[1] 0.2411277 1.6588723
特征根的结果及平稳性的判别：特征根，
，
，λ1在单位圆内，但是λ2不再单位圆内，因此认为该AR(2)模型是不平稳的。
模型（4）：特征方程：
求特征根（或因式分解过程）：
> x4 <- polyroot(c(-0.72,0.1,1))
> x4
[1] 0.8+0i -0.9+0i
> Mod(x4)
[1] 0.8 0.9
特征根的结果及平稳性的判别：特征根，
，
，两个特征根都在单位圆内，因此认为该AR(2)是平稳的。