标签：编码 复杂度 路径 二叉树 顶点 数据结构 节点

p'数据结构

57-65 9分 数据结构+算法

时间复杂度

加法规则

多项相加，保留高阶项，系数化为1（最高阶太大了，其余的可以忽略不计），系数化为1。

乘法规则

多项相乘，都保留，并将系数化为1

时间复杂度实例

空间复杂度

O(1) O(n) O($n^2$)

渐进符号

渐进上界的括号内要大于等于等式左边的计算结果。

渐进下界的括号内要小于等于等式左边的计算结果。

渐进紧致界 想要正确 就得渐进上限相等&&渐进下限相等。

递归 时时间、空间复杂度

对于每次递归过程中时间复杂度不变的情况：递归时间复杂度 = 递归的次数*每次递归的时间复杂度。

每趟递归中的时间复杂度和n有关。

顺序表

链表

单链表

双链表

循环链表

串

矩阵

对称矩阵

二维对称矩阵压缩一维对应公式为：

arr[0...m,0...n]

arr[i,j] = $(1+i)i/2+j$

arr[1...m,1...n]

arr[i,j] = $(1+(i-1))(i-1)/2+(j-1)$

对角矩阵

问题：对角的0不需要存储公式：前面的i列+当前元素前面的行数

下标0： $i*3-1+j-i+2$ = $2i+j+1$

下标：2(i-1)+(j-1)+1

稀疏矩阵

容量大，但可用元素很少。

三元表

十字链表

树

概念

孩子，父亲，兄弟

节点度：节点的子树个数。

树的度：所有节点度的最大值

叶子节点：

内部节点：度不为0

节点的层：

树的高度：最大层数。

性质

1. 节点的个数=所有度数和加1。
2. 度为m的树中第i层至多有$m^(i-1)$个节点。 i从1开始

3.度为m的树中最多有$m^h-1/m-1$个节点

等比数列求和 公比q = $a2/a1 = m^1/m0 = m$

等比数列求和公式推导

$1(1-m^h)/1-m = 1-m^h/1-m = m^h-1/m-1$

公式为$m^h-1/m-1$

4.具有n个节点度为m的树，最低的高度为：$「h=logm^(n(m-1)+1)⌉$

$n = m^h-1/m-1$

=> $n(m-1) = m^h-1$

=>$n(m-1)+1=m^h$

=>$h=logm^{n(m-1)+1}$

二叉树

性质

1. 对于任何二叉树，叶子节点的个数 = 度为2节点的个数+1

   $n_0+n_1+n_2+1 = n$

   $n_00 + n_11+n_2*2 = n$

   $n_0+n_1+n_2+1 = n_00 + n_11+n_2*2$

   $=>n_0+n_1+n_2+1 = n_1+n_2*2 $

   $=>n_0+1 = n_2 $

   $=>n_0 = n_2-1 $

2. 二叉树的第i(i>=1)层上至多有$2^(i-1)$个节点

3. 高度为h的二叉树最多有 $2^h-1/2-1 = $ $2^h-1$、

4. 具有n个结点的完全二叉树的高度为[logzn]+1或[log2(n + 1)]

卡特兰树

公式 = $c^n_{2n}/n+1$

$c^m_n = n!/m!*(m-1)!$

二叉树存储

顺序存储

• i=1 当前节点为根节点，无双亲若 若i>1,则该结点的双亲结点为i/2 下取整。
• 2i <= n 2i 为i的左孩子，否则无左孩子。
• 2i + 1<= n 2i+1 为i的右孩子，否则无右孩子。

链式存储

平衡二叉树

二叉树中任意节点的左右子树相差绝对值小于等于1

二叉排序树

二叉排序树(二叉查找树)

根结点的关键字大于左子树所有结点的关键字,

小于右子树所有结点的关键字,

左右子树也是一颗二叉排序树，

中序遍历得到的序列是有序序列，

最优二叉树(哈夫曼树)

带权路径最短的树(权值大离根节点近)：

• 树的路径长度：从根节点到叶子节点的路径长度和。
• 节点的带权路径长度：权值*节点的路径长度
• 树的带权路径长度和：树中所有叶子节点带权路径长度和

性质：

1. 最优二叉树不唯一但WPL(树的带权路径长度和)是唯一的
2. 只有度为0和度为2的节点
3. 总节点个数为：

$节点的总个数 = n_0+n_2$

$n_0 = n_2+1$ => $n_2 = n_0-1$

=> $总个数 = n_0+ n_0-1 = 2n_0-1$

哈夫曼编码

1. 构造二叉树
2. 左0右1编码

压缩比

等长编码

需要表示六个不同的字符的编码

$ 2^x = 6 => x = 3$

(40+10+20+16+14)*3 = 300

哈夫曼编码

编码长度不相同

$401+3(11+20+16+14) = 220$

等长编码：(40+10+20+16+14)*3 = 300

哈夫曼编码：$401+3(11+20+16+14) = 220$

压缩比：等长编码-哈夫曼编码 / 等长编码 = （300 - 220 ）/ 300 = 0.27

图

分类

有向图

顶点集合$<V_i,V_j>$

无向图

顶点集合$(V_i,V_j)$

完全图

任意两个顶点之间都有边

有向完全图

无向完全图

度

和顶点v相关联的边

有向图：

无向图：度=出度+入度

总度数 = 2 * 边

路径

路径：一个顶点到另一个顶点的边

回路：路径大于1 且 起点和终点相同。

简单路径：除起点和终点相同，其余路径均不相同。

连通图

任意两个顶点之间都有路径

连通图：

最少：n-1

最多(完全图)：n(n-1)/2

强连通图

最少：n

最多(完全图)：n(n-1)

存储结构

邻接矩阵

有向图一个顶点一个1

无向图一个顶点两个1

邻接表

为每个顶点创建一个单链表

无向图表节点 = 2 * 边

有向图表节点 = 边

稠密图和稀疏图

稠密图：边多 ->使用邻接矩阵存储

稀疏图：边少->使用邻接表存储

网

边上带权值

遍历

深度优先遍历(递归 ) 广度优先遍历(队列)

采用邻接矩阵存储的时间复杂度：$O(n^2)$(n 节点个数)。

采用邻接表存储的时间复杂度：$无向图=O(n+e)$遍历所有节点的时间复杂度+所有边的时间复杂度。

拓扑排序

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From： https://www.cnblogs.com/baidh/p/18115854