Qt 求圆和椭圆上任意角度点的坐标

0.圆相关公式

在笛卡尔坐标系上，一个标准的圆是这样的：

 已知圆心坐标 （x0，y0），半径 R，角度 a，则圆边上点（x'，y'）的坐标为：

C 的三角函数参数为弧度，转换如下：

角度转弧度： 

弧度转角度：

但我们知道，Qt 绘图是屏幕坐标系，起点在左上角，以右下角为正方向：

 （可以把计算后的 y 取反来得到想要的效果）

 1 void MainWindow::paintEvent(QPaintEvent *event)
 2 {
 3     event->accept();
 4  
 5     QPainter painter(this);
 6     painter.setPen(QPen(Qt::red,2));
 7     //移动坐标中心点到窗口中心，默认左上角为起点，往右下为正方向
 8     painter.translate(width()/2,height()/2);
 9     //画一个圆，圆心为起点（上一步移动到的正中），半径100px
10     const int R=100;
11     painter.drawEllipse(QPoint(0,0),R,R);
12     //计算45度角圆边上的点，角度需要转换为弧度
13     const double a=qDegreesToRadians((double)45);
14     const int x=0+R*cos(a);
15     const int y=0+R*sin(a);
16     //因为屏幕坐标系y轴正方向和笛卡尔坐标系相反，所以y取反就是我们要的结果了
17     painter.drawLine(QPoint(0,0),QPoint(x,-y)); //y取反
18 }

运行结果：

1.椭圆相关公式

在笛卡尔坐标系上，一个标准的椭圆是这样的：

 已知圆心坐标 （x0，y0），横轴 A（长半轴），竖轴 B（短半轴），角度 a，则圆边上点（x'，y'）的坐标为：

 椭圆半径：

 （可以发现，与普通圆相比，不考虑椭圆角度的话只是半径变化了，其他部分是一样的）

 1 void MainWindow::paintEvent(QPaintEvent *event)
 2 {
 3     event->accept();
 4  
 5     QPainter painter(this);
 6     painter.setPen(QPen(Qt::red,2));
 7     //移动坐标中心点到窗口中心，默认左上角为起点，往右下为正方向
 8     painter.translate(width()/2,height()/2);
 9     //画一个圆，圆心为起点（上一步移动到的正中），半径100px
10     const int A=150; //横轴
11     const int B=100; //竖轴
12     painter.drawEllipse(QPoint(0,0),A,B);
13     //计算45度角圆边上的点，角度需要转换为弧度
14     const double a=qDegreesToRadians((double)45);
15     const int R=A*B/sqrt(pow(A*sin(a),2)+pow(B*cos(a),2)); //计算对应角度的半径
16     const int x=0+R*cos(a);
17     const int y=0+R*sin(a);
18     //因为屏幕坐标系y轴正方向和笛卡尔坐标系相反，所以y取反就是我们要的结果了
19     painter.drawLine(QPoint(0,0),QPoint(x,-y)); //y取反
20 }

运行结果：

2.旋转矩阵

上面的角度都是从右侧开始，椭圆也是标准椭圆，如果我们想旋转一定角度来绘制，就需要用到我们的旋转矩阵了。

（本节主要来自参考博客）

已知 A(x,y) ，求旋转 a 角度后的 B(x’,y’) 坐标：

 公式推导：

 根据矩阵乘法计算规则，可以推出：

操作流程：

• 把图形的各点平移，令旋转中心平移至原点；
• 乘以旋转矩阵；
• 再平移至原来的旋转中心。

我们将上面椭圆的代码改一下，逆时针旋转 45 度：

 1  
 2 void MainWindow::paintEvent(QPaintEvent *event)
 3 {
 4     event->accept();
 5  
 6     QPainter painter(this);
 7     painter.setPen(QPen(Qt::red,2));
 8     //移动坐标中心点到窗口中心，默认左上角为起点，往右下为正方向
 9     painter.translate(width()/2,height()/2);
10     //画一个圆，圆心为起点（上一步移动到的正中），半径100px
11     const int A=150; //横轴
12     const int B=100; //竖轴
13     painter.rotate(-45); //在屏幕坐标系，qpainter是顺时针转的
14     painter.drawEllipse(QPoint(0,0),A,B);
15     painter.rotate(45);
16  
17     //计算45度角圆边上的点，角度需要转换为弧度
18     const double a=qDegreesToRadians((double)45);
19     const int R=A*B/sqrt(pow(A*sin(a),2)+pow(B*cos(a),2)); //计算对应角度的半径
20     const int x=0+R*cos(a);
21     const int y=0+R*sin(a);
22     //根据旋转矩阵计算
23     const double a2=qDegreesToRadians((double)45);
24     const int x2=x*cos(a2)-y*sin(a2);
25     const int y2=x*sin(a2)+y*cos(a2);
26     //因为屏幕坐标系y轴正方向和笛卡尔坐标系相反，所以y取反就是我们要的结果了
27     painter.drawLine(QPoint(0,0),QPoint(x2,-y2)); //y取反
28 }

运行结果：

（第一次计算的角度坐标是计算标准椭圆下的位置，第二次是根据椭圆的旋转角度做旋转得到的坐标）

（本来就有 45 度，从右侧逆时针旋转，再旋转 45 度就成了垂直向上了）

 （虽然线可以直接 QPainter 旋转的方式绘制，但是这样文本也旋转了）