一、题目
合并检测
新冠疫情由新冠病毒引起,最近在 A 国蔓延,为了尽快控制疫情,A 国准备给大量民众进病毒核酸检测。然而,用于检测的试剂盒紧缺。为了解决这一困难,科学家想了一个办法:
合并检测。即将从多个人(k 个)采集的标本放到同一个试剂盒中进行检测。如果结果为阴性,则说明这 k 个人都是阴性,用一个试剂盒完成了 k 个人的检测。如果结果为阳性,则说明至少有一个人为阳性,需要将这 k 个人的样本全部重新独立检测(从理论上看,如果检测前 k − 1 个人都是阴性可以推断出第 k 个人是阳性,但是在实际操作中不会利用此推断,而是将 k 个人独立检测),加上最开始的合并检测,一共使用了 k + 1 个试剂盒完成了 k 个人的检测。
A 国估计被测的民众的感染率大概是 1%,呈均匀分布。请问 k 取多少能最节省试剂盒?
这是一道结果填空题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。
二、分析
采用的是数学的方法:
设A国有n个人,因为民众感染的概率为1%,所以被感染的人有n/100人,又k个人分到一组,则需要的试剂数n/k,又因为每多感染一个人试剂的数量多k个,被感染了则需要的试剂数为(n/100)*k,所以我们需要的总的试剂的数量为 n/k+(n/100)*k,又因为人数是定的,我们把n看作是1,
则有总试剂数为1/k+k/100,要使其达到最小,当且仅当1/k=k/100,(a+b>=2根号下ab,当且仅当a=b的时候成立),解的k=10.
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