[题解]P1439 【模板】最长公共子序列

P1439 【模板】最长公共子序列

题意简述

给出 \(1,2,…,n\) 的两个排列 \(P_1\) 和 \(P_2\) ，求它们的最长公共子序列。

• 范围限制：\(n \le 10^5\)。

样例

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出：3。

思路简述

这道题看似是最长公共子序列，但是发现如果用\(O(n^2)\)的复杂度实现\(LCS\)就会时间超限。所以我们考虑从“\(P_1,P_2\)都是\(1,2,…,n\)的排列”来入手。

我们把每个\(P_1[i]\)都映射成\(i\)，相应的\(P_2\)也发生变化。比如样例中把\(3\)都换成\(1\)，\(1\)都换成\(3\)。这样\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{3,2,1,4,5\}\)。显然结果不受影响。

这样我们就把在\(P_2\)中找和\(P_1\)的最长公共子序列，转化成了找\(P_2\)的最长上升子序列。可以用\(O(n\ log\ n)\)的时间复杂度过掉。

注意：不能记录每一个位置最终会换到哪个位置，然后在输入\(P_2\)后把每个值重新移动到那里。这可能会影响结果。比如\(P_1=\{1,3,5,4,2\},P_2=\{5,4,2,1,3\}\)。

• 按正解应该是\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{3,4,5,1,2\}\)，答案\(3\)。
• 按这种方法是\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{5,3,4,1,2\}\)，答案\(2\)。

思考：这种优化方式只适用于没有重复元素且两序列元素集合相同的情况。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100010],b[100010];
int f[100010];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num;
		cin>>num;
		a[num]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num;
		cin>>num;
		b[i]=a[num];
	}
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(b[i]>f[len]){
			f[++len]=b[i];
		}else{
			int p=lower_bound(f+1,f+1+len,b[i])-f;
			f[p]=b[i];
		}
	}
	cout<<len<<endl;
	return 0;
}