一、题目描述

B3637 最长上升子序列

二、问题简析

2.1 法一：\(O(N^2)\)

令 \(dp[i]=\) 以 \(a_i\) 结尾的上升子序列的最大长度。
以 \(a_i\) 结尾的上升子序列有两种可能：

• 1、仅有 \(a_i\) 一个元素
• 2、在满足 \(j < i\) 且 \(a_j < a_i\) 的以 \(a_j\) 结尾的上升子序列结尾，加上 \(a_i\)

所以，递归方程为：

最终结果是 \(dp[i]\) 的最大值。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

const int MAX = 5e3 + 3;
int A[MAX], n, dp[MAX];

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	n = quickin();
	for (int i = 0; i < n; i++)
		A[i] = quickin();
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		dp[i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; j++)
		{
			if (A[j] < A[i])
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
		}
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}

2.2 法二：\(O(NlogN)\)

令 \(dp[i]=\) 长度为 \(i+1\) 的上升子序列的末尾元素的最小值。（因为对于相同长度的上升子序列，结尾元素越小，就越有优势）
对于每个 \(dp[i]\)，遍历 \(a_j\)，若 \(i==0\) 或 \(a_j > dp[i - 1]\)，不断更新 \(dp[i]=min(dp[i],a_j)\)。最终，使 \(dp[i] <INF\) 的最大的 \(i+1\) 就是所求。如果按这个思路，仍然是 \(O(N^2)\)。

因为 \(dp[i]\) 是升序，所以我们可以选择用二分搜索来优化。遍历 \(a_j\)，在 \(dp[i]\) 中查找首个不小于（lower_bound） \(a_j\) 的 \(dp[i]\) ，并赋值 \(a_j\)。最终，使 \(dp[i] <INF\) 的最大的 \(i+1\) 就是所求。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

int quickin(void)
{
	int ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

const int MAX = 5e3 + 3;
const int INF = 1e8;
int A[MAX], n, dp[MAX];

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	n = quickin();
	for (int i = 0; i < n; i++)
		A[i] = quickin();
	
	fill(dp, dp + n, INF);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		*lower_bound(dp, dp + n, A[i]) = A[i];
	}
	cout << lower_bound(dp, dp + n, INF) - dp << endl;
	
	return 0;
}

完