拉格朗日插值

插值：
已知平面直角坐标系上的\(n\)个点，找出一个函数\(f(x)\)过这\(n\)个点，这样的函数有无限多个。
拉格朗日插值：
首先他构造了\(n\)个函数，第\(i\)个是\(f_i(x)=\left\{\begin{matrix} y_i & x=x_i\\ 0 & x=x_j(j\ne i) \end{matrix}\right.\)。对于其余的\(x\)，我们并不关心。
这样我们可以得出$f_i(x)=\frac{y_i\times \prod_{j\ne i} (x-x_j)}{\prod_{j\ne i} (x_i-x_j)} $。
最终可以得出答案 \(f(x)=\sum_{i-1}^n f_i(x)\)。
例题:
abc137F
代码：

#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
int p;
int a[3010];
int b[3010];
int c[3010];
int d[3010];
int ksm(int x,int y){
	int ans=1;
	while(y){
		if(y%2==1){
			ans=ans*x%p;
		}
		x=x*x%p;
		y/=2;
	}
	return ans;
}
int inv[3010];
signed main(){
	cin>>p;
	for(int i=1;i<p;i++){
		inv[i]=ksm(p-i,p-2);
	}
	for(int i=0;i<p;i++){
		cin>>a[i];
	}
	b[0]=1;
	for(int i=0;i<p;i++){
		for(int j=p;j>=0;j--){
			b[j]=b[j]*(p-i)%p;
			if(j!=0){
				b[j]=(b[j]+b[j-1])%p;
			}
		}
	}
	c[0]=1;
	for(int i=1;i<p;i++){
		for(int j=p-1;j>=0;j--){
			c[j]=c[j]*(p-i)%p;
			if(j!=0){
				c[j]=(c[j]+c[j-1])%p;
			}
		}
	}
	int k=1;
	for(int j=1;j<p;j++){
		k=k*(p-j)%p;
	}
	k=ksm(k,p-2)*a[0]%p;
	for(int j=0;j<p;j++){
		d[j]=(d[j]+c[j]*k)%p;
	}
	for(int i=1;i<p;i++){
		for(int j=0;j<p;j++){
			c[j]=b[j];
		}
		for(int j=0;j<p;j++){
			c[j]=c[j]*inv[i]%p;
			if(j!=p-1){
				c[j+1]=(c[j+1]-c[j]+p)%p;
			}
		}
		k=1;
		for(int j=0;j<p;j++){
			if(i!=j){
				k=k*(i-j+p)%p;
			}
		}
		k=ksm(k,p-2)*a[i]%p;
		for(int j=0;j<p;j++){
			d[j]=(d[j]+c[j]*k)%p;
		}
	}
	for(int i=0;i<p;i++){
		cout<<d[i]<<" ";
	}
	return 0;
}