可持久化trie

考虑像主席树建树，然后可以处理trie的进阶问题

最大异或和

题目描述

给定一个非负整数序列 \(\{a\}\)，初始长度为 \(N\)。

有 \(M\) 个操作，有以下两种操作类型：

1. A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 \(x\)，序列的长度 \(N\) 加 \(1\)。
2. Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置 \(p\)，满足 \(l \le p \le r\)，使得：\(a[p] \oplus a[p+1] \oplus ... \oplus a[N] \oplus x\) 最大，输出最大值。

solution

可持久化trie上维护前缀xor，然后就考虑在\(l-1\sim r-1\)的s找到xor\(s_n\oplus x\)的最大异或，然后可持久化trie上维护的r-1版本可以处理1~r-1，但是trie好像不支持可减性，然后就是每个节点记录以当前节点为根的子树中，最后的版本是lst，然后就是子树中lst<l-1就不考虑，否则就正常做

[TJOI2018] 异或

题目描述

现在有一颗以 \(1\) 为根节点的由 \(n\) 个节点组成的树，节点从 \(1\) 至 \(n\) 编号。树上每个节点上都有一个权值 \(v_i\)。现在有 \(q\) 次操作，操作如下：

• \(1~x~z\)：查询节点 \(x\) 的子树中的节点权值与 \(z\) 异或结果的最大值。
• \(2~x~y~z\)：查询节点 \(x\) 到节点 \(y\) 的简单路径上的节点的权值与 \(z\) 异或结果最大值。

solution

首先只有询问，考虑直接分开处理

对于询问1，一个子树内的dfn序连续，就是把树的dfn序搞出来就是上面那题

对于询问2，就考虑分成两条链，然后考虑按照树的父子关系建可持久化trie，也是类似

[THUSC2015] 异或运算

题目描述

给定长度为 \(n\) 的数列 \(X={x_1,x_2,...,x_n}\) 和长度为 \(m\) 的数列 \(Y={y_1,y_2,...,y_m}\)，令矩阵 \(A\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的值 \(A_{i,j}=x_i\ \operatorname{xor}\ y_j\)，每次询问给定矩形区域 \(i∈[u,d],j∈[l,r]\)，找出第 \(k\) 大的 \(A_{i,j}\)。（\(n\le1000,m\le300000,p\le500\)）

solution

根据数据范围不难猜到需要\(O(pn\log w)\)的复杂度

所以考虑对于一个数x，和一个数列Y如何算第k大，先将数列建成trie，维护左右儿子各有多少数，然后像权值线段树一样处理第k大。若有多个x则每次处理多个（有点像树状数组套线段树）。考虑如何拓展Y

很容易想到把Y持久化，然后考虑左右儿子各有多少数，满足可减性，即可直接处理（并且上面的题也可以使用）