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自顶向下的语法分析
自顶向下的语法分析是编译原理中的一个重要概念，它与自底向上的语法分析相对应。自顶向下的语法分析是从文法的开始符号出发，尝试为输入的符号串建立一棵分析树。这种分析方法通常采用递归下降解析或预测解析等技术来实现。
在自顶向下的语法分析中，关键是选择合适的产生式来进行推导。为了进行确定的自顶向下分析，我们通常需要对文法施加一些限制，例如使用LL(1)文法。LL(1)文法是一种特殊的上下文无关文法，它满足两个条件：第一个“L”表示从左到右扫描输入，第二个“L”表示产生最左推导，“1”表示在每一步推导中只需要向前看一个输入符号。
为了进行自顶向下的语法分析，我们需要构造一个预测分析表。这个表根据当前的输入符号和当前的文法状态（即已经分析的部分），来决定下一步应该使用哪个产生式进行推导。预测分析表可以通过对文法的FIRST集和FOLLOW集的计算来构建。
自顶向下的语法分析面临的一个主要问题是回溯。如果选择的产生式导致推导失败，那么我们需要回溯到之前的状态，并尝试其他的产生式。这种回溯可能会导致分析效率降低，因此在实际应用中，我们需要采用一些优化技术来减少回溯的次数，例如使用回溯缓存等技术。
自顶向下的语法分析是一种重要的编译原理技术，它可以帮助我们理解和实现编译器的语法分析阶段。在实际应用中，我们需要根据具体的文法和输入特点来选择合适的分析方法和技术。
在编译原理中，FIRST集和FOLLOW集是两个非常重要的概念，它们被广泛应用于自顶向下的语法分析和预测分析表的构建。
FIRST集的计算过程
定义：对于一个文法符号X（可以是终结符或非终结符），FIRST(X)是指由X推导出的所有字符串的首个终结符或ε（空字符串）的集合。即FIRST集是用于确定一个文法符号（终结符或非终结符）能够推导出的所有字符串的首个终结符或ε（空字符串）的集合。
计算FIRST集的过程相对直接，遵循以下步骤：
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对于终结符：如果一个符号X是终结符，那么FIRST(X)只包含该终结符本身，即FIRST(X) = {X}。
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对于非终结符：如果X是非终结符，则需要考虑X的所有产生式。对于每个产生式X → α，其中α是一系列文法符号的序列，我们按照以下规则计算FIRST(X)：
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如果α以非终结符开头，则将该非终结符的FIRST集中的所有元素（除了ε）加入到FIRST(X)中。这是因为非终结符可以推导出以它的FIRST集中的终结符开头的字符串。
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如果α以终结符开头，则将该终结符加入到FIRST(X)中。这是因为终结符本身就是它所能推导出的字符串的首个终结符。
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如果α以ε开头，则继续考察α中紧随ε之后的符号。如果ε是α的第一个符号，即X → ε，则ε也属于FIRST(X)。如果ε后面跟着的是终结符，则将该终结符加入到FIRST(X)中。如果ε后面跟着的是非终结符Y，则将Y的FIRST集中的所有元素（除了ε）加入到FIRST(X)中。
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重复上述过程，直到处理完X的所有产生式。
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FOLLOW集的计算过程
定义：对于一个非终结符A，FOLLOW(A)是指在规范推导中，紧接在A之后可能出现的终结符的集合。换句话说，FOLLOW(A)包含了所有使得A能够出现在某个产生式右侧的终结符集合。即FOLLOW集用于确定在规范推导中，某个非终结符之后可能出现的终结符集合。
计算FOLLOW集的过程稍微复杂一些，需要反复应用以下规则直到没有新的终结符可以加入到任何FOLLOW集合中为止：
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对于开始符号S：将输入结束符（通常是$）加入到FOLLOW(S)中，因为S总是出现在推导的开始位置，后面紧跟输入结束符。
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对于产生式A → αBβ（其中A, B是非终结符，α, β是文法符号序列，可以包括终结符、非终结符和ε）：
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如果β不是ε，则将FIRST(β)中除了ε以外的所有元素加入到FOLLOW(B)中。这是因为如果B能够推导出以β开头的字符串，那么B后面的符号（即β的第一个符号）将出现在B的FOLLOW集中。
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如果β是ε，则将FOLLOW(A)中的所有元素加入到FOLLOW(B)中。这是因为如果B之后没有其他符号（即β为空），则A之后的任何符号都可以出现在B的FOLLOW集中。
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重复应用规则：不断重复上述过程，每次都将新加入到FOLLOW集中的终结符考虑进来，检查是否有更多的终结符可以加入到其他非终结符的FOLLOW集中。
通过这个过程，我们可以计算出所有非终结符的FIRST集和FOLLOW集，这些集合在构建预测分析表和指导自顶向下的语法分析过程中起着关键作用。
应用
FIRST集和FOLLOW集在构建预测分析表时非常有用。预测分析表用于指导自顶向下的语法分析过程，它根据当前的文法状态和输入符号来选择下一个应该使用的产生式。
FIRST集用于确定某个非终结符可能推导出的首个终结符，而FOLLOW集用于确定某个非终结符可能出现在产生式右侧的上下文环境。