关于该课题
\(\hspace{0.5cm}\) 在之前遇到过像这样的说法， 将 \(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 和 \(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\) 类比于三角函数。 它们和正弦余弦函数具有许多相似的地方， 例如 “和角公式” “和差化积” 等等， 性质几乎一模一样， 于是便思考这是否等价于三角函数呢？ 但是仔细观察发现， 这两个函数的值域都在 \(R\) 中， 与三角函数的值域差了太多。 如果再仔细观察可知， 三角函数的定义域只是实数域， 是否扩展三角函数的定义域即可达到我们想要的结果呢？ 既然三角函数可以， 是否其他函数也可以扩展其定义域呢？ 于是针对这个问题开展研究性学习。本次研究主要以网上的资料为主，进行整理与学习， 提升自己的数学素养。
研究过程
\(\hspace {0.5cm}\) 首先我们通过调查， 发现要扩展这些函数的定义域需要搭建起实数与虚数之间的桥梁， 并在搜索中发现欧拉公式是其中的关键。 之后便在尝试理解欧拉公式的证明的过程中， 学习到了有关级数的基础知识， 再通过这些知识和高中有关倒数的知识， 进一步学习了泰勒展开。 在有这些前置知识的帮助下， 欧拉公式的正确性便一目了然。 之后在这基础之上将 对数， 指数， 三角函数的定义域所拓展。 在学习的过程中， 发现这些属于复变函数的章节， 可以在未来对这一方面进行更加深入的了解与研究。