1184-E3 题目大意

给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的无向图，边带权。对于每条边，你需要找到最大值\(x\)，使得把这条边的权值修改为\(x\)后能够出现在最小生成树上。

Solution

先把整个图的最小生成树弄出来，然后将边分为树边以及非树边来考虑：

• 非树边：对于一个非树边连接了\(x\)和\(y\)的两个点，那么容易想到这条边的最大值应当是两个点到它们\(LCA\)的路径上的最大的边权。这部分用树上倍增就能够解决。
• 树边：这个树边的权值一定不能大于某些非树边的权值（这些非树边连接的两点之间的在最小生成树上的路径包含有这个树边）。考虑按权值从小到大枚举非树边（连接的两个端点为\(x\)和\(y\)），把\(x\)和\(y\)到它们的\(LCA\)路径上的树边都打上标记（标记为枚举的非树边的边权）。而对于那些已经打过标记的边则需要跳过，这里每枚举一条树边后，就用并查集进行合并，这样可以快速向上跳且不会重复打标记。

算法涉及的细节很多，具体见代码，时间复杂度\(O((n+m)logn+mlogm)\)，这里没有算上并查集的复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

template<typename T>
struct DSU{
	int n;
	vector<T> p,siz;
	DSU(int _n):p(_n+1),siz(_n+1),n(_n){
		iota(p.begin(),p.end(),0);
		for(int i=0;i<=n;i++) siz[i]=1;
	}
	T findd(T x){
		return p[x]==x?x:p[x]=findd(p[x]);
	}
	void unionn(T x,T y){
		x=findd(x),y=findd(y);
		if(x==y) return;
		if(siz[x]>siz[y]) swap(x,y);
		p[x]=y;
		siz[y]+=siz[x];
	}
};

void solve(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<array<int,4>> ed(m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        ed[i]={x,y,w,i};
    }
    sort(ed.begin(),ed.end(),[](const auto &x,const auto &y){
        return x[2]<y[2];
    });
    DSU<int> dsu(n);
    vector<vector<pair<int,int>>> e(n+1);
    vector<int> vis(m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        auto [x,y,w,j]=ed[i];
        if(dsu.findd(x)!=dsu.findd(y)){
            dsu.unionn(x,y);
            e[x].push_back({y,w});
            e[y].push_back({x,w});
            vis[i]=1;
        }
    }
    vector<int> dep(n+1);
    int P=18;
    vector<vector<int>> fa(n+1,vector<int>(P)),mx(n+1,vector<int>(P));
    function<void(int,int)> dfs=[&](int x,int father){
        dep[x]=dep[father]+1,fa[x][0]=father;
        for(int i=1;i<P;i++){
            fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
            mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[fa[x][i-1]][i-1]);
        }
        for(auto [y,t]:e[x]){
            if(y==father) continue;
            mx[y][0]=t;
            dfs(y,x);
        }
    };
    dfs(1,0);
    function<int(int,int)> lca=[&](int x,int y){
        if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
        for(int i=P-1;~i;i--){
            if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]){
                x=fa[x][i];
            }
        }
        if(x==y) return x;
        for(int i=P-1;~i;i--){
            if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
                x=fa[x][i],y=fa[y][i];
            }
        }
        return fa[x][0];
    };
    function<int(int,int)> maxw=[&](int x,int z){
        int res=0;
        if(x==z) return res;
        for(int i=P-1;~i;i--){
            if(dep[fa[x][i]]>=dep[z]){
                res=max(res,mx[x][i]);
                x=fa[x][i];
            }
        }
        return res;
    };
    vector<int> pa(n+1);
    iota(pa.begin(),pa.end(),0);
    function<int(int)> getfa=[&](int x){
        return pa[x]==x?x:pa[x]=getfa(pa[x]);
    };
    vector<int> nw(n+1,1e9);
    vector<int> ans(m,1e9);
    for(int i=0;i<m;i++){
        if(!vis[i]){
            auto &[x,y,w,j]=ed[i];
            int z=lca(x,y);
            ans[j]=max(maxw(x,z),maxw(y,z));
            while(dep[getfa(x)]>dep[z]){
                int t=getfa(x);
                nw[t]=w;
                pa[t]=getfa(fa[t][0]);
            }
            while(dep[getfa(y)]>dep[z]){
                int t=getfa(y);
                nw[t]=w;
                pa[t]=getfa(fa[t][0]);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        if(vis[i]){
            auto &[x,y,w,j]=ed[i];
            if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
            ans[j]=nw[x];
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        cout<<ans[i]<<'\n';
    }
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    int T=1;
    //cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}