异或运算的性质

异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示。

性质

1、交换律

2、结合律：即(a^b)^c == a^(b^c)）

3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x，x^1=x'。即一位数（假设是a)，与自身异或，一定等于0； 与0异或-->等于本身;  与1异或---->等于a'。

4、自反性 A^B^B = A^0 = A

异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。

例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：

 A=A XOR B (a XOR b)
 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 
 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现

一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空

间，能否设计一个算法实现？

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。

这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。

解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。

将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。

首先是异或运算满足交换律、结合律。

所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。

令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T

则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。

T^(T^n)=n。

所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。

异或的配对性定理：利用a与1异或，等于a'

设a为任意非负偶数，b=a+1为比a大1的正奇数；则必有a^1=b,b^1=a;

用于处理两两配对问题（如正向、反向边）时很好用！！！

如

2^1=3,3^1=2;

98^1=99;99^1=98;

123^1=122; 9870^1=9871

证明：

由异或的自反性a^b^b=a^0=a，可知a^1^1=a;

又因为对于任意非负偶数有a^1=a+1；

所以有: a^1=a+1=b;

a^1^1=(a+1)^1=b^1=a;

google面试题的变形：一个数组存放若干整数，一个数出现奇数次，其余数均出现偶数次，找出这个出现奇数次的数？

解法有很多，但是最好的和上面一样，就是把所有数异或，最后结构就是要找的，原理同上！！

奇数个异或是本身，偶数个是0；0^a=a；异或有交换律

转载自：https://wenku.baidu.com/view/8bb52ffb700abb68a982fbba.html?_wkts_=1705932331851&bdQuery=%E5%BC%82%E6%88%96%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B4%A8