570-D 题目大意

给定一棵\(n\)个节点的树，根节点为\(1\)，每个节点上有一个小写字母\(ch\)。定义节点\(x\)的深度为\(x\)到根节点的路径上的节点数量。\(q\)次询问，每次询问查询以\(x\)为根的子树之中所有深度为\(d\)的节点上字母重排之后是否可以构成一个回文串。

Solution

对于一组能够拼凑出回文串的字符，其中数量为奇数的字符个数不超过\(1\)。因为字符集大小为\(26\)，我们可以用一个二进制数来表示各个字符出现次数是奇数还是偶数。对于节点\(x\)，我只需要把其各个子节点中的信息异或起来就能够得到整个以\(x\)为根的子树中的信息。

对于节点\(x\)，用\(p[x][d]\)来记录在当前子树中，深度为\(d\)的字符出现情况，每次递归子树时进行暴力合并，复杂度最坏为\(O(n^2)\)，考虑优化合并的过程。

\(dsu{\;}on{\;}tree\)是常用的合并树上信息的算法，每次枚举完\(x\)的儿子节点\(y\)，就比较\(p[x]\)与\(p[y]\)两个集合的大小，把更大的集合交换给\(p[x]\)，再把小的集合暴力合并到\(p[x]\)中。

时间复杂度\(O(nlog^{2}n)\)，这里不用的\(map\)的话复杂度能够降为\(O(nlogn)\)，复杂度的具体证明请自行百度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

void solve(){
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    vector<vector<int>> e(n+1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        e[x].push_back(i);
    }
    string s;
    cin>>s;
    vector<vector<array<int,2>>> Q(n+1);
    for(int i=0;i<q;i++){
        int x,d;
        cin>>x>>d;
        Q[x].push_back({d,i});
    }
    vector<map<int,int>> p(n+1);
    vector<int> ans(q);
    function<void(int,int)> dfs=[&](int x,int depth){
        for(auto y:e[x]){
            dfs(y,depth+1);
            if(p[y].size()>p[x].size()) swap(p[x],p[y]);
            for(auto &[d,w]:p[y]){
                p[x][d]^=w;
            }
        }
        p[x][depth]=(1<<(s[x-1]-'a'));
        for(auto [d,i]:Q[x]){
            if(!p[x].count(d)){
                ans[i]=1;
            }else if(__builtin_popcount(p[x][d])<=1){
                ans[i]=1;
            }
        }
    };
    dfs(1,1);
    for(int i=0;i<q;i++){
        if(ans[i]){
            cout<<"Yes"<<'\n';
        }else{
            cout<<"No"<<'\n';
        }
    }
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    int T=1;
    //cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}