一种很有用的东西。体现了关键点的思想。

应用1

树上每个节点有颜色，问一个子树内有几种颜色。

对每种颜色的点集按 DFS 序排序，点所在位置权值 +1，相邻两个的 LCA 处权值 -1。子树求和即可。

正经的应用

建虚树：

q[hh=0]=1;
for(i){
	int l=lca(a[i],q[hh]);
	while(hh&&dep[q[hh]]>dep[l]){
		if(dep[q[hh-1]]>dep[l]) add(q[hh-1],q[hh]);
		else add(l,q[hh]);
		--hh;
	}
	if(q[hh]!=l) q[++hh]=l;
	if(l!=a[i]) q[++hh]=a[i];
}
while(hh){
	add(q[hh-1],q[hh]);
	--hh;
}

最喜欢的一种写法，思路很清晰，特判少。

本质是堆维护当前右链。为了有一个固定的根，可以默认把 \(1\) 放进去。

注意清空虚树时要在 DFS 里面动态删。

结合树形 DP

对树上某些关键点进行修改并询问一些没有修改很好做的东西。这时候可以用虚树结合 DP 处理。

（一些简单DP题）

Plus-对树上不同类型点累计贡献（换根DP）

典型的一个题：颜色路径。

如果固定了一种颜色，求别的颜色到它的距离是容易的，换根DP即可。

这道题询问了非常多次两种颜色之间所有路径的长度和。考虑分类处理。

有一个关键性质是所有颜色的点数和是 \(n\)。所以点数大于 \(\sqrt n\) 的颜色少于 \(\sqrt n\) 种，对于这部分跑虚树，复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。

考虑小于的怎么办，一个很“启发式”的想法是对于询问的一对颜色，谁点数多就在谁的虚树上算，这样小于 \(\sqrt n\) 的东西接受的询问也是小于 \(\sqrt n\) 的一些颜色，由于总共 \(Q\) 组询问，所以这部分的复杂度总和是 \(O(Q\sqrt n)\)。

所以这道题最终的复杂度就是 \(n\sqrt n\) 级别的，由于虚树的大常，实际上比正常根号算法跑得慢了许多。