图(Graph)的概念:
在数据结构中,图是由节点(顶点)和边组成的非线性数据结构。图用于表示不同对象之间的关系,其中节点表示对象,边表示对象之间的连接或关系。
1.图的基本组成元素:
- 节点(Vertex 或 Node): 表示图中的实体或对象。节点可以有不同的属性和值。在某些情况下,节点也被称为顶点。
- 边(Edge): 表示连接节点的关系。边可以是有向的(有方向性)或无向的(无方向性),也可以有权重或权值(表示边的成本、距离或其他度量)。
2.图的分类:
2.1.有向图(Directed Graph):
有向图是一种图,其中边有方向。也就是说,从一个节点到另一个节点的边具有明确的起点和终点。有向图中的边可以是单向的,也可以是双向的。
2.2.无向图(Undirected Graph):
无向图是一种图,其中边没有方向。也就是说,从一个节点到另一个节点的边没有明确的起点和终点。无向图中的边是双向的,表示节点之间的对等关系。
2.3.连通图(Connected Graph):
连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径的图。也就是说,从图中的任意一个节点出发,都可以到达图中的其他所有节点。
2.4.非连通图(Disconnected Graph):
非连通图是指图中存在孤立的节点或者多个不相连的子图。也就是说,从某个节点出发,无法到达图中的其他某些节点。
2.5.加权图(Weighted Graph):
加权图是一种图,其中每条边都有一个权重或者值。这些权重可以表示节点之间的距离、成本、容量等。加权图用于解决一些需要考虑边的权重的问题,如最短路径问题、最小生成树问题等。
3.图的表示方式:
- 邻接矩阵(Adjacency Matrix): 用二维数组表示节点之间的连接关系。矩阵的行和列表示节点,矩阵元素表示节点之间是否存在边或边的权重。
- 邻接表(Adjacency List): 用链表、数组或字典等数据结构表示图中的节点及其相邻节点。每个节点记录其相邻节点的信息。
4.图的常见操作和算法:
- 遍历(Traversal): 深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)是常用的图遍历算法,用于访问和搜索图中的节点和边。
- 最短路径算法(Shortest Path Algorithms): 例如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法,用于找到图中两个节点之间的最短路径。
- 最小生成树算法(Minimum Spanning Tree Algorithms): 如 Prim 算法和 Kruskal 算法,用于找到连接图中所有节点的最小成本树形结构。
- 拓扑排序(Topological Sorting): 用于有向无环图(DAG)中节点的线性排序,使得图中任何一对顶点u和v,若边(u, v)存在,则u排在v的前面。