标签：phi 二面角 sub 力场 np psi plt && 耦合

技术背景

当我们使用分子力场进行分子动力学模拟时，通常包括成键相互作用（键长项、键角项和二面角项）和非成键相互作用（范德华力）。而其中成键相互作用，可以根据作用的范围，进一步定义成1-2相互作用、1-3相互作用和1-4相互作用，也就是键长键角和二面角。在FF19SB力场中，为了进一步提升力场模拟的精确度，引入了一个CMAP参数，用于计算\(C_{\alpha}\)位置上的二面角耦合相互作用，也可以理解为1-5相互作用，作为力场的一个修正项。这里我们介绍具体的双二面角耦合势能项的计算方法。

输入与输出

具体的双二面角耦合相互作用，可以参考如下图示（图片截取自参考文献1）：

力场项的输入是\(C_{\alpha}\)周边的两个二面角：\(\phi\)和\(\psi\)，而我们需要计算的是这两个参数对应的一个势能修正项：\(E_{mod}=E(\phi,\psi)\)。根据实验数据和量化计算出来的数据，Amber中给出了每一个氨基酸种类的二面角格点势能：

CMAP
%FLAG CMAP_COUNT   1
%FLAG CMAP_TITLE
Gly CMAP
%FLAG CMAP_RESLIST  1
GLY
%FLAG CMAP_RESOLUTION 24
%FLAG CMAP_PARAMETER
  0.82366   1.09817   1.13106   1.38658   2.11377   3.63194   5.20835   4.52792
  4.24857   3.42100   2.57125   2.21561   4.26659   2.21561   2.57125   3.42110
  4.24858   4.52792   4.29107   3.63184   2.03731   1.32036   1.12797   1.09814
  1.01976   0.89767   0.89484   1.21525   1.97095   3.70570   4.38855   4.65256
  4.43948   3.89754   4.21954   2.92219   1.83300   1.61528   2.13407   3.13273
  4.03304   4.37836   4.21500   3.54162   2.14871   1.44646   1.20387   1.08264
  0.94294   0.79652   0.83328   1.24136   2.06053   3.43883   4.17385   4.53101
  4.43115   4.03641   3.71837   2.02965   1.28863   1.21833   1.89263   2.85593
  4.80291   4.23497   4.08718   3.49858   2.17811   1.53114   1.22608   1.06909
  1.06124   0.90425   0.95129   1.35925   1.80900   3.18916   3.85055   4.27470
  4.17515   3.68355   2.71193   1.96823   0.88051   1.02084   1.59189   2.52883
  3.47767   4.03244   3.86779   3.39508   2.23969   1.66969   1.33019   1.16679
  1.08157   1.02005   1.10493   1.29605   1.79270   2.88632   3.63402   4.05349
  3.97657   3.35415   2.24207   1.18576   0.74267   0.67495   1.31122   2.24278
  3.21905   3.69186   4.76949   4.00571   2.34764   1.77622   1.34849   1.12849
  1.09360   0.76295   0.64220   1.00733   1.73708   2.50787   3.41571   4.45847
  3.84910   3.11193   1.97839   1.18177   0.33803   0.43176   1.23577   2.17947
  2.92428   3.38497   3.39138   3.10177   3.35228   2.15282   1.45287   1.28536
  0.61764   0.23640   0.15650   0.65857   1.56522   2.44967   3.17669   3.78043
  4.22216   2.79953   1.66579   0.59084   0.15579   0.43594   1.52040   2.27449
  2.76979   3.16911   3.12455   2.92674   2.45824   1.88927   1.36443   0.95121
 -0.00243  -0.14438   0.06931   0.84132   1.89921   2.91978   3.46170   3.60722
  3.77366   2.18724   1.52870   0.20777   0.22187   1.10049   2.08960   2.88893
  3.46272   3.66327   3.40280   3.02172   2.23074   1.32476   0.62376   0.25154
 -0.24862   0.05886   0.73935   1.98217   3.25167   4.06285   4.21447   3.90130
  2.90300   1.70374   0.74057   0.52755   1.12943   2.10802   2.78056   3.65981
  4.30377   4.58476   4.35318   3.65296   2.33204   0.81283   0.00000  -0.29835
  0.44379   1.32981   2.39709   3.82578   5.02459   5.42450   4.99639   4.00610
  2.64886   1.63847   1.37610   1.71448   2.28503   2.64949   3.24747   4.17266
  5.17265   5.75041   5.58476   4.21912   2.20540   0.64843   0.02065  -0.08593
  2.15530   3.40478   4.51993   5.80241   6.12627   6.00746   5.12631   4.58197
  2.80154   2.55737   2.87599   2.95502   2.71629   2.60279   3.64721   4.53964
  5.90407   6.82108   6.15044   4.18011   2.15201   0.96807   0.81255   1.19704
  4.21011   5.19583   5.45356   5.26216   5.22957   4.91772   4.44698   3.93537
  3.74038   4.11322   3.92595   2.94210   2.11295   2.42266   3.12536   4.83315
  6.43292   6.19670   5.13463   3.65052   2.40663   2.07125   2.29840   3.03351
  5.33877   4.55338   3.87255   3.87071   3.62149   3.87069   4.31250   4.77933
  5.37137   5.20874   3.65026   2.18763   2.20027   2.18700   3.65026   5.21405
  5.24065   4.77943   4.31250   3.87553   3.63325   5.19982   3.88530   4.53465
  4.20747   3.02450   2.29840   2.07135   2.40664   3.65062   5.13204   6.19680
  6.43292   4.83351   3.12587   2.96667   2.11029   2.93241   3.92594   4.11322
  3.74082   3.93551   4.44698   4.92068   5.53058   5.24416   5.35209   5.19605
  2.15668   1.19704   0.81255   0.96806   2.15211   4.17062   6.15034   6.82108
  5.90407   4.54177   3.63728   2.60267   2.71853   2.95502   2.87589   2.55737
  2.80717   3.89294   5.12631   6.00746   6.12372   5.80230   5.01898   3.40679
  0.45450  -0.08700   0.02065   0.64843   2.20540   4.21912   5.58476   5.75041
  5.17265   4.16788   3.24747   2.64460   2.28503   1.72593   1.37610   1.63847
  2.64538   4.01006   5.00425   5.42091   5.02459   3.80593   2.39681   1.32981
 -0.24862  -0.29835   0.00000   0.81283   2.33214   3.64847   4.35318   4.59008
  4.30377   3.65991   2.78056   2.10802   1.84494   0.52754   0.74067   1.61716
  2.90300   3.89516   4.21447   4.06285   3.25166   1.98217   0.73946   0.07427
 -0.00243   0.25154   0.64043   1.82987   2.23143   3.02038   3.40280   3.66327
  3.46272   2.88893   2.08960   1.10049   0.22171   0.20862   1.52897   2.18595
  3.24376   3.60722   3.46170   2.91968   1.89590   0.84888   0.07066  -0.14460
  0.61764   0.94007   1.36444   1.88927   2.45691   2.92674   3.12469   3.16911
  2.76979   2.27377   1.52040   0.44049   0.15579   0.59084   1.66579   2.79477
  4.25589   3.78043   3.17669   2.45043   1.56512   0.65855   0.15650   0.23719
  1.09360   1.28549   1.45287   2.15281   2.67683   3.10177   3.39138   3.38497
  2.91731   2.17947   1.23582   0.43170   0.33793   1.00844   1.97383   3.11193
  3.84910   4.46392   3.41571   2.50787   1.73708   1.00733   0.64220   0.76295
  0.97094   1.11640   1.33640   1.77623   2.30465   3.21763   3.71128   3.69186
  3.21905   2.24277   1.31122   0.67238   0.74272   1.18578   2.24207   3.35415
  3.97657   4.05349   3.63266   2.88632   1.79270   1.23680   1.00391   1.05657
  0.98044   1.16708   1.33038   1.66969   2.23969   3.39508   3.86779   4.03243
  3.47590   2.52883   1.59193   1.02084   0.88051   1.46518   2.71203   3.68355
  4.17470   4.27471   3.85203   3.18916   1.80900   1.35925   0.95109   0.90998
  0.92229   1.06909   1.22608   1.53114   2.17810   3.49858   4.08708   4.23358
  3.81032   2.85593   1.89254   1.21833   1.28863   2.03059   3.37664   4.03661
  4.43079   4.53101   4.17385   3.43883   2.06053   1.24136   0.83440   0.79652
  1.01976   1.08264   1.20394   1.44647   2.14870   3.54162   4.22527   4.37836
  4.03304   3.13273   2.13407   1.61528   1.83300   2.92219   4.10899   3.89754
  4.43948   4.65256   4.38856   3.70570   1.97095   1.21515   0.89442   0.89767

这里是一个24*24大小的Resolution表格，对应的是在空间中将两个二面角的大小划分成24份，每份为15度，而这里的值给出的是每一个离散的二面角组合的势能值。拿到这个表之后，我们需要对它做一个连续化处理，也就是使用所谓的插值法，这里选用的是三次样条插值。

三次样条插值

三次样条插值算法的原理还是比较简单粗暴的，直接根据通用公式\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)进行计算，那么就要求至少有四个输入输出值\(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,x_4,y_4\)用于插值：

\[\left(\begin{matrix} x_1^3&&x_1^2&&x_1&&1\\ x_2^3&&x_2^2&&x_2&&1\\ x_3^3&&x_3^2&&x_3&&1\\ x_4^3&&x_4^2&&x_4&&1 \end{matrix}\right)\left( \begin{matrix} a\\b\\c\\d \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} y_1\\y_2\\y_3\\y_4 \end{matrix} \right) \]

这样就可以通过计算矩阵的逆来得到一组插值参数：

\[\left( \begin{matrix} a\\b\\c\\d \end{matrix} \right)= \left(\begin{matrix} x_1^3&&x_1^2&&x_1&&1\\ x_2^3&&x_2^2&&x_2&&1\\ x_3^3&&x_3^2&&x_3&&1\\ x_4^3&&x_4^2&&x_4&&1 \end{matrix}\right)^{-1}\left( \begin{matrix} y_1\\y_2\\y_3\\y_4 \end{matrix} \right) \]

如此一来我们就把一组离散的数据插值成一个可以求导的连续函数：

\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ \frac{df}{dx}=3ax^2+2bx+c \]

双三次插值

回到双二面角耦合相互租用的场景，我们按照15度一个点，对整个二面角的自变量空间做了一个离散化，可以先用可视化的形式看一下对应的能量分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

string = """
0.82366   1.09817   1.13106   1.38658   2.11377   3.63194   5.20835   4.52792
  4.24857   3.42100   2.57125   2.21561   4.26659   2.21561   2.57125   3.42110
  4.24858   4.52792   4.29107   3.63184   2.03731   1.32036   1.12797   1.09814
  1.01976   0.89767   0.89484   1.21525   1.97095   3.70570   4.38855   4.65256
  4.43948   3.89754   4.21954   2.92219   1.83300   1.61528   2.13407   3.13273
  4.03304   4.37836   4.21500   3.54162   2.14871   1.44646   1.20387   1.08264
  0.94294   0.79652   0.83328   1.24136   2.06053   3.43883   4.17385   4.53101
  4.43115   4.03641   3.71837   2.02965   1.28863   1.21833   1.89263   2.85593
  4.80291   4.23497   4.08718   3.49858   2.17811   1.53114   1.22608   1.06909
  1.06124   0.90425   0.95129   1.35925   1.80900   3.18916   3.85055   4.27470
  4.17515   3.68355   2.71193   1.96823   0.88051   1.02084   1.59189   2.52883
  3.47767   4.03244   3.86779   3.39508   2.23969   1.66969   1.33019   1.16679
  1.08157   1.02005   1.10493   1.29605   1.79270   2.88632   3.63402   4.05349
  3.97657   3.35415   2.24207   1.18576   0.74267   0.67495   1.31122   2.24278
  3.21905   3.69186   4.76949   4.00571   2.34764   1.77622   1.34849   1.12849
  1.09360   0.76295   0.64220   1.00733   1.73708   2.50787   3.41571   4.45847
  3.84910   3.11193   1.97839   1.18177   0.33803   0.43176   1.23577   2.17947
  2.92428   3.38497   3.39138   3.10177   3.35228   2.15282   1.45287   1.28536
  0.61764   0.23640   0.15650   0.65857   1.56522   2.44967   3.17669   3.78043
  4.22216   2.79953   1.66579   0.59084   0.15579   0.43594   1.52040   2.27449
  2.76979   3.16911   3.12455   2.92674   2.45824   1.88927   1.36443   0.95121
 -0.00243  -0.14438   0.06931   0.84132   1.89921   2.91978   3.46170   3.60722
  3.77366   2.18724   1.52870   0.20777   0.22187   1.10049   2.08960   2.88893
  3.46272   3.66327   3.40280   3.02172   2.23074   1.32476   0.62376   0.25154
 -0.24862   0.05886   0.73935   1.98217   3.25167   4.06285   4.21447   3.90130
  2.90300   1.70374   0.74057   0.52755   1.12943   2.10802   2.78056   3.65981
  4.30377   4.58476   4.35318   3.65296   2.33204   0.81283   0.00000  -0.29835
  0.44379   1.32981   2.39709   3.82578   5.02459   5.42450   4.99639   4.00610
  2.64886   1.63847   1.37610   1.71448   2.28503   2.64949   3.24747   4.17266
  5.17265   5.75041   5.58476   4.21912   2.20540   0.64843   0.02065  -0.08593
  2.15530   3.40478   4.51993   5.80241   6.12627   6.00746   5.12631   4.58197
  2.80154   2.55737   2.87599   2.95502   2.71629   2.60279   3.64721   4.53964
  5.90407   6.82108   6.15044   4.18011   2.15201   0.96807   0.81255   1.19704
  4.21011   5.19583   5.45356   5.26216   5.22957   4.91772   4.44698   3.93537
  3.74038   4.11322   3.92595   2.94210   2.11295   2.42266   3.12536   4.83315
  6.43292   6.19670   5.13463   3.65052   2.40663   2.07125   2.29840   3.03351
  5.33877   4.55338   3.87255   3.87071   3.62149   3.87069   4.31250   4.77933
  5.37137   5.20874   3.65026   2.18763   2.20027   2.18700   3.65026   5.21405
  5.24065   4.77943   4.31250   3.87553   3.63325   5.19982   3.88530   4.53465
  4.20747   3.02450   2.29840   2.07135   2.40664   3.65062   5.13204   6.19680
  6.43292   4.83351   3.12587   2.96667   2.11029   2.93241   3.92594   4.11322
  3.74082   3.93551   4.44698   4.92068   5.53058   5.24416   5.35209   5.19605
  2.15668   1.19704   0.81255   0.96806   2.15211   4.17062   6.15034   6.82108
  5.90407   4.54177   3.63728   2.60267   2.71853   2.95502   2.87589   2.55737
  2.80717   3.89294   5.12631   6.00746   6.12372   5.80230   5.01898   3.40679
  0.45450  -0.08700   0.02065   0.64843   2.20540   4.21912   5.58476   5.75041
  5.17265   4.16788   3.24747   2.64460   2.28503   1.72593   1.37610   1.63847
  2.64538   4.01006   5.00425   5.42091   5.02459   3.80593   2.39681   1.32981
 -0.24862  -0.29835   0.00000   0.81283   2.33214   3.64847   4.35318   4.59008
  4.30377   3.65991   2.78056   2.10802   1.84494   0.52754   0.74067   1.61716
  2.90300   3.89516   4.21447   4.06285   3.25166   1.98217   0.73946   0.07427
 -0.00243   0.25154   0.64043   1.82987   2.23143   3.02038   3.40280   3.66327
  3.46272   2.88893   2.08960   1.10049   0.22171   0.20862   1.52897   2.18595
  3.24376   3.60722   3.46170   2.91968   1.89590   0.84888   0.07066  -0.14460
  0.61764   0.94007   1.36444   1.88927   2.45691   2.92674   3.12469   3.16911
  2.76979   2.27377   1.52040   0.44049   0.15579   0.59084   1.66579   2.79477
  4.25589   3.78043   3.17669   2.45043   1.56512   0.65855   0.15650   0.23719
  1.09360   1.28549   1.45287   2.15281   2.67683   3.10177   3.39138   3.38497
  2.91731   2.17947   1.23582   0.43170   0.33793   1.00844   1.97383   3.11193
  3.84910   4.46392   3.41571   2.50787   1.73708   1.00733   0.64220   0.76295
  0.97094   1.11640   1.33640   1.77623   2.30465   3.21763   3.71128   3.69186
  3.21905   2.24277   1.31122   0.67238   0.74272   1.18578   2.24207   3.35415
  3.97657   4.05349   3.63266   2.88632   1.79270   1.23680   1.00391   1.05657
  0.98044   1.16708   1.33038   1.66969   2.23969   3.39508   3.86779   4.03243
  3.47590   2.52883   1.59193   1.02084   0.88051   1.46518   2.71203   3.68355
  4.17470   4.27471   3.85203   3.18916   1.80900   1.35925   0.95109   0.90998
  0.92229   1.06909   1.22608   1.53114   2.17810   3.49858   4.08708   4.23358
  3.81032   2.85593   1.89254   1.21833   1.28863   2.03059   3.37664   4.03661
  4.43079   4.53101   4.17385   3.43883   2.06053   1.24136   0.83440   0.79652
  1.01976   1.08264   1.20394   1.44647   2.14870   3.54162   4.22527   4.37836
  4.03304   3.13273   2.13407   1.61528   1.83300   2.92219   4.10899   3.89754
  4.43948   4.65256   4.38856   3.70570   1.97095   1.21515   0.89442   0.89767
"""

phi = np.arange(24) * 15
psi = np.arange(24) * 15
resolutions = np.array([float(s) for s in string.split()], np.float32).reshape((24, 24))
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.title('GLY Resolutions')
plt.contourf(phi, psi, resolutions, cmap=plt.cm.hot)
plt.xlabel(r'$\phi$')
plt.ylabel(r'$\psi$')
plt.xticks(phi)
plt.yticks(psi)
plt.grid()
plt.show()

得到的结果如下图所示：

此时需要注意的是，我们手头仅有每一个格点上的对应能量值，但是我们需要的是整个自变量空间的能量值，而且需要是连续的，这样才能够进行自动微分，进而求解对应的力。这时候需要用到双三次样条插值法。我们假设需要插值的点处在某一个方格子中间，注意不是格点了，是在某一个方格子的中间。那么此时我们可以以这个方格的位置为中心，构造出一个九宫格。虽然是九宫格，但其实是4横4纵一共16个能量点。这里给出的插值目标函数为：

\[E_{interp}=\sum_{i,j=1}^4c_{i,j}\left(\frac{\phi-\phi_L}{\Delta\phi}\right)^{i-1}\left(\frac{\psi-\psi_L}{\Delta\psi}\right)^{j-1} \]

由于系数我们是当做一维来计算的，所以需要做一个展开令\(a_{J}=a_{4i+j-4}=c_{i,j}\)，同时，我们可以将角度的变换关系全都放到系数项里面，这样表示\(\phi\)和\(\psi\)时在形式上就会更加简单。经过变换后会得到一个矩阵方程：

\[\sum_{J}M_{I,J}a_J=E_I \]

其中\(M_{I,J}\)可以通过格点的\(\phi,\psi\)与中心方格的中心点的\(\phi_L,\psi_L\)构造出来，这里不展开写公式，详细内容参见代码实现。那么最后得到系数矩阵\(M_{I,J}\)和能量表之后，就可以进一步得到需要插值的系数：

\[a=M^{-1}E \]

具体的代码实现如下：

M = np.zeros((16, 16))
for i in range(16):
    for j in range(16):
        ii = i // 4
        ij = i % 4
        ji = j // 4
        jj = j % 4
        M[i][j] = (-1.5 + ij) ** ji * (-1.5 + ii) ** jj
M = np.matrix(M, np.float32)
c_0 = np.einsum('ij,j->i', M.I, E_sub.reshape(-1))

这样就可以得到一组参数：

[ 0.80195737 -0.09009341  0.089855    0.00695395  0.00651729  0.04415806
  0.00911433 -0.01563221  0.1316725   0.02541727 -0.02819001  0.01033084
  0.03029101 -0.00083557  0.00954252 -0.00721776]

根据这个参数，可以代入到上面计算势能的插值函数\( E_{interp}=\sum_{i,j=1}^4c_{i,j}\left(\frac{\phi-\phi_L}{\Delta\phi}\right)^{i-1}\left(\frac{\psi-\psi_L}{\Delta\psi}\right)^{j-1} \)中，计算出格点内给定位置的势能值。完整的\(\phi-\psi\)空间参数计算Python代码如下所示：

import numpy as np
from itertools import product
import matplotlib.pyplot as plt

string = """
0.82366   1.09817   1.13106   1.38658   2.11377   3.63194   5.20835   4.52792
  4.24857   3.42100   2.57125   2.21561   4.26659   2.21561   2.57125   3.42110
  4.24858   4.52792   4.29107   3.63184   2.03731   1.32036   1.12797   1.09814
  1.01976   0.89767   0.89484   1.21525   1.97095   3.70570   4.38855   4.65256
  4.43948   3.89754   4.21954   2.92219   1.83300   1.61528   2.13407   3.13273
  4.03304   4.37836   4.21500   3.54162   2.14871   1.44646   1.20387   1.08264
  0.94294   0.79652   0.83328   1.24136   2.06053   3.43883   4.17385   4.53101
  4.43115   4.03641   3.71837   2.02965   1.28863   1.21833   1.89263   2.85593
  4.80291   4.23497   4.08718   3.49858   2.17811   1.53114   1.22608   1.06909
  1.06124   0.90425   0.95129   1.35925   1.80900   3.18916   3.85055   4.27470
  4.17515   3.68355   2.71193   1.96823   0.88051   1.02084   1.59189   2.52883
  3.47767   4.03244   3.86779   3.39508   2.23969   1.66969   1.33019   1.16679
  1.08157   1.02005   1.10493   1.29605   1.79270   2.88632   3.63402   4.05349
  3.97657   3.35415   2.24207   1.18576   0.74267   0.67495   1.31122   2.24278
  3.21905   3.69186   4.76949   4.00571   2.34764   1.77622   1.34849   1.12849
  1.09360   0.76295   0.64220   1.00733   1.73708   2.50787   3.41571   4.45847
  3.84910   3.11193   1.97839   1.18177   0.33803   0.43176   1.23577   2.17947
  2.92428   3.38497   3.39138   3.10177   3.35228   2.15282   1.45287   1.28536
  0.61764   0.23640   0.15650   0.65857   1.56522   2.44967   3.17669   3.78043
  4.22216   2.79953   1.66579   0.59084   0.15579   0.43594   1.52040   2.27449
  2.76979   3.16911   3.12455   2.92674   2.45824   1.88927   1.36443   0.95121
 -0.00243  -0.14438   0.06931   0.84132   1.89921   2.91978   3.46170   3.60722
  3.77366   2.18724   1.52870   0.20777   0.22187   1.10049   2.08960   2.88893
  3.46272   3.66327   3.40280   3.02172   2.23074   1.32476   0.62376   0.25154
 -0.24862   0.05886   0.73935   1.98217   3.25167   4.06285   4.21447   3.90130
  2.90300   1.70374   0.74057   0.52755   1.12943   2.10802   2.78056   3.65981
  4.30377   4.58476   4.35318   3.65296   2.33204   0.81283   0.00000  -0.29835
  0.44379   1.32981   2.39709   3.82578   5.02459   5.42450   4.99639   4.00610
  2.64886   1.63847   1.37610   1.71448   2.28503   2.64949   3.24747   4.17266
  5.17265   5.75041   5.58476   4.21912   2.20540   0.64843   0.02065  -0.08593
  2.15530   3.40478   4.51993   5.80241   6.12627   6.00746   5.12631   4.58197
  2.80154   2.55737   2.87599   2.95502   2.71629   2.60279   3.64721   4.53964
  5.90407   6.82108   6.15044   4.18011   2.15201   0.96807   0.81255   1.19704
  4.21011   5.19583   5.45356   5.26216   5.22957   4.91772   4.44698   3.93537
  3.74038   4.11322   3.92595   2.94210   2.11295   2.42266   3.12536   4.83315
  6.43292   6.19670   5.13463   3.65052   2.40663   2.07125   2.29840   3.03351
  5.33877   4.55338   3.87255   3.87071   3.62149   3.87069   4.31250   4.77933
  5.37137   5.20874   3.65026   2.18763   2.20027   2.18700   3.65026   5.21405
  5.24065   4.77943   4.31250   3.87553   3.63325   5.19982   3.88530   4.53465
  4.20747   3.02450   2.29840   2.07135   2.40664   3.65062   5.13204   6.19680
  6.43292   4.83351   3.12587   2.96667   2.11029   2.93241   3.92594   4.11322
  3.74082   3.93551   4.44698   4.92068   5.53058   5.24416   5.35209   5.19605
  2.15668   1.19704   0.81255   0.96806   2.15211   4.17062   6.15034   6.82108
  5.90407   4.54177   3.63728   2.60267   2.71853   2.95502   2.87589   2.55737
  2.80717   3.89294   5.12631   6.00746   6.12372   5.80230   5.01898   3.40679
  0.45450  -0.08700   0.02065   0.64843   2.20540   4.21912   5.58476   5.75041
  5.17265   4.16788   3.24747   2.64460   2.28503   1.72593   1.37610   1.63847
  2.64538   4.01006   5.00425   5.42091   5.02459   3.80593   2.39681   1.32981
 -0.24862  -0.29835   0.00000   0.81283   2.33214   3.64847   4.35318   4.59008
  4.30377   3.65991   2.78056   2.10802   1.84494   0.52754   0.74067   1.61716
  2.90300   3.89516   4.21447   4.06285   3.25166   1.98217   0.73946   0.07427
 -0.00243   0.25154   0.64043   1.82987   2.23143   3.02038   3.40280   3.66327
  3.46272   2.88893   2.08960   1.10049   0.22171   0.20862   1.52897   2.18595
  3.24376   3.60722   3.46170   2.91968   1.89590   0.84888   0.07066  -0.14460
  0.61764   0.94007   1.36444   1.88927   2.45691   2.92674   3.12469   3.16911
  2.76979   2.27377   1.52040   0.44049   0.15579   0.59084   1.66579   2.79477
  4.25589   3.78043   3.17669   2.45043   1.56512   0.65855   0.15650   0.23719
  1.09360   1.28549   1.45287   2.15281   2.67683   3.10177   3.39138   3.38497
  2.91731   2.17947   1.23582   0.43170   0.33793   1.00844   1.97383   3.11193
  3.84910   4.46392   3.41571   2.50787   1.73708   1.00733   0.64220   0.76295
  0.97094   1.11640   1.33640   1.77623   2.30465   3.21763   3.71128   3.69186
  3.21905   2.24277   1.31122   0.67238   0.74272   1.18578   2.24207   3.35415
  3.97657   4.05349   3.63266   2.88632   1.79270   1.23680   1.00391   1.05657
  0.98044   1.16708   1.33038   1.66969   2.23969   3.39508   3.86779   4.03243
  3.47590   2.52883   1.59193   1.02084   0.88051   1.46518   2.71203   3.68355
  4.17470   4.27471   3.85203   3.18916   1.80900   1.35925   0.95109   0.90998
  0.92229   1.06909   1.22608   1.53114   2.17810   3.49858   4.08708   4.23358
  3.81032   2.85593   1.89254   1.21833   1.28863   2.03059   3.37664   4.03661
  4.43079   4.53101   4.17385   3.43883   2.06053   1.24136   0.83440   0.79652
  1.01976   1.08264   1.20394   1.44647   2.14870   3.54162   4.22527   4.37836
  4.03304   3.13273   2.13407   1.61528   1.83300   2.92219   4.10899   3.89754
  4.43948   4.65256   4.38856   3.70570   1.97095   1.21515   0.89442   0.89767
"""

def E_interp(c, phi, psi):
    # 根据计算好的参数以及输入的phi和psi值，计算势能值
    rc = c.reshape((4, 4))
    E = 0
    for i in range(4):
        for j in range(4):
            E += rc[i][j] * phi ** i * psi ** j
    return E

def get_c0(E_sub):
    # 计算插值参数
    M = np.zeros((16, 16))
    for i in range(16):
        for j in range(16):
            ii = i // 4
            ij = i % 4
            ji = j // 4
            jj = j % 4
            M[i][j] = (-1.5 + ii) ** ji * (-1.5 + ij) ** jj
    M = np.matrix(M, np.float32)
    c_0 = np.einsum('ij,j->i', M.I, E_sub.reshape(-1))
    return c_0

resolutions = np.array([float(s) for s in string.split()], np.float32).reshape((24, 24))

def get_resolution_0(resolutions, phi_L=0., psi_L=0.):
    # 遍历空间中每个网格的中心，计算势能值
    Einterp = np.zeros((23, 23))
    for i in range(23):
        for j in range(23):
            idx = list(product([i-1, i, i+1, (i+2) % 24], [j-1, j, i+1, (j+2) % 24]))
            E_sub = np.array([resolutions[x] for x in idx]).reshape((4, 4))
            c0 = get_c0(E_sub)
            Einterp[i][j] = E_interp(c0, phi_L, psi_L)
    return Einterp

phi = np.arange(23) * 15
psi = np.arange(23) * 15
hi, si = 0., 0.
# 网格中心的势能分布
resolutions_0 = get_resolution_0(resolutions, hi, si)
hi, si = -0.5, -0.5
# 网格格点的势能分布
resolutions_1  =get_resolution_0(resolutions, hi, si)

# 绘图
plt.figure(figsize=(20, 10))
plt.subplot(1,2,1)
plt.title('GLY Resolutions Center')
plt.contourf(phi+7.5, psi+7.5, resolutions_0, cmap=plt.cm.hot)
plt.xlabel(r'$\phi$')
plt.ylabel(r'$\psi$')
plt.xticks(phi+7.5, rotation=60)
plt.yticks(psi+7.5)
plt.grid()
plt.subplot(1,2,2)
plt.title('GLY Resolutions Grid')
plt.contourf(phi, psi, resolutions_1, cmap=plt.cm.hot)
plt.xlabel(r'$\phi$')
plt.ylabel(r'$\psi$')
plt.xticks(phi, rotation=60)
plt.yticks(psi)
plt.grid()
plt.show()

输出的结果如下所示：

将这个结果对比原始的Resolution，我们发现格点上的势能分布是完全一致的。但是如果使用的是网格中心的势能值用来统计分布，势能面就会出现较大的差异，但其实我们做插值的时候，也要考虑是否存在“过拟合”的问题。

Amber算法复现

在Amber里面，就是直接使用双三次样条插值进行计算，这里不对其算法进行展开介绍，但是可以贴一部分用于复现的代码：

def get_c1(E_sub):
    dM = np.matrix([[1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0.],
                    [1., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.],
                    [0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 3., 0., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 2., 2., 2., 2., 3., 3., 3., 3.],
                    [0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0.],
                    [0., 1., 2., 3., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 1., 2., 3., 0., 1., 2., 3., 0., 1., 2., 3., 0., 1., 2., 3.],
                    [0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 2., 0., 0., 0., 3., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 0., 1., 2., 3., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
                    [0., 0., 0., 0., 0., 1., 2., 3., 0., 2., 4., 6., 0., 3., 6., 9.]],
                    np.float32)
    dE = np.array([E_sub[1][1], E_sub[2][1], E_sub[1][2], E_sub[2][2],
                   0.5 * (E_sub[2][1] - E_sub[0][1]), 0.5 * (E_sub[3][1] - E_sub[1][1]),
                   0.5 * (E_sub[2][2] - E_sub[0][2]), 0.5 * (E_sub[3][2] - E_sub[1][2]),
                   0.5 * (E_sub[1][2] - E_sub[1][0]), 0.5 * (E_sub[2][2] - E_sub[2][0]),
                   0.5 * (E_sub[1][3] - E_sub[1][1]), 0.5 * (E_sub[2][3] - E_sub[2][1]),
                   0.25 * (E_sub[2][2] + E_sub[0][0] - E_sub[2][0] - E_sub[0][2]),
                   0.25 * (E_sub[3][2] + E_sub[1][0] - E_sub[3][0] - E_sub[1][2]),
                   0.25 * (E_sub[2][2] + E_sub[0][2] - E_sub[2][1] - E_sub[0][3]),
                   0.25 * (E_sub[3][3] + E_sub[1][1] - E_sub[3][1] - E_sub[1][3])],
                   np.float32)
    c_1 = np.einsum('ij,j->i', dM.I, dE)
    return c_1

这个双三次样条插值算法的基本原理，不是像之前我们提到的一样使用格点中心点作为中心来进行插值，而是选取了中心网格的左上角格点作为中心(0,0)，然后对中间网格的四个格点、以及边的一阶差分、二阶差分进行插值。这样做的好处是，在网格的边缘处，不仅仅是势能面光滑，且一阶导数可以连续。

总结概要

本文介绍了最新的一些分子力场中有可能使用到的1-5相互作用——双二面角耦合项的计算。而常规的计算方式是，通过量化的计算得到每一个Residue的α碳对应的两个二面角的数值在空间中的离散化数值。然后在分子模拟的过程中使用插值的方案，对相关的条目进行计算，例如使用双三次样条插值。但其实这种插值算法的使用有可能导致一些其他的问题，比如深度学习中可能会经常提到的“过拟合”问题。由于这个条目本身就只是一个修正项，从数值大小上来说并不算大，因此这些细节是否需要优化还有待商榷。

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参考文献

Extending the Treatment of Backbone Energetics in Protein Force Fields: Limitations of Gas-Phase Quantum Mechanics in Reproducing Protein Conformational Distributions in Molecular Dynamics Simulations.

标签：phi,二面角,sub,力场,np,psi,plt,&&,耦合
From： https://www.cnblogs.com/dechinphy/p/cmap.html

双二面角耦合力场项的计算