码-线性码

1.定义

若C是F_qⁿ的一个线性子空间，则称C是一个线性码。

既然是线性子空间的话，一定有维数，例如C的维数是k，上一章引进的量中码字个数K=q^k

上一章引进的量中（n，K，d），   码字个数K，最小距离d

现在引进线性码[n，k，d]，码长n，码的维数k，最小距离d

2.线性码的最小距

d(C) = min d_H(x，y) = min W₊(x-y) = min { W_t(C) }【 C ≠ 0】   

【第一个等号是汉明码的定义，其中x≠y且x,y∈C】

【第二个等号是：因为它是线性子空间，那么在内部对加法算术是封闭的，x和y跑遍了C，那么x-y也跑遍了C】

【第三个等号：线性码里面肯定有一个零码字，因为是线性子空间；线性码的最小距离 是 所有非零码字 取最小值】

3.生成矩阵

C是一个线性子空间，设C在F_q上的一组基为 {α₁，α₂，...，α_n}，α₁ ~ α_n 都是长度为n的F_q上的行向量

        α1                  α11    α12     .....     α1n
        α2                  α21    α22     .....     α2n
G = (   ...   )    =   (    α31    α12     .....     α1n     )
        αn-1                ...    ...     .....     ...
        αn                  αk1    αk2     .....     αkn   
                 

 G 称为C的一个生成矩阵

C的生成阵不止一个：因为只是取了C的一组基，而线性子空间的基并不唯一，所以应该有很多个生成矩阵。