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「Log」2023.10.30 小记

时间:2023-10-31 11:45:33浏览次数:37  
标签:对角线 选定 Log 对于 2023.10 列全 概率 30 考虑

序幕

\(\text{6:50}\):昏暗到校,写 CF 杂题。

经过两个小时的思考终于看懂了题解。

\(\color{blueviolet}{CF1530F}\)

此题是神秘题。

考虑反着做,将至少有一行或一列或一条对角线全为 \(1\) 概率转换为所有行列对角线都至少有一个 \(0\)。

先不考虑行与对角线,只考虑满足所有列都至少有一个 \(0\) 该怎么做,为了使得我们的不完全做法有扩展性,我们考虑使用容斥。

过程如下:

  1. 加上至少有 \(0\) 列全为 \(1\) 的概率。(对于至少有 \(x\) 列全为 \(1\) 的概率,可以理解为我们选定 \(x\) 列,使得其全为 \(1\)(概率相乘),其他列的 \(0/1\) 情况我们不考虑(概率为 \(1\))。而选定的 \(x\) 列的所有情况概率要加和,比如我选定 \(1\) 列,那么情况总数有 \(n\) 种,这些情况的概率都要加和。)

  2. 减去至少有 \(2\) 列全为 \(1\) 的概率。

  3. 加上至少有 \(3\) 列全为 \(1\) 的概率。

  4. 以此类推。

这样容斥并不难理解,我们需要求的是所有列至少有一个 \(0\) 的情况,对于第一步加的概率显然是全情况的概率,我们减去其中有一列为 \(1\) 的概率,但此时对于两行为 \(1\) 的情况我们减了两遍。举个例子,对于 \(1,2\) 号列全为 \(1\) 的某种情况,我们选定 \(1\) 号列时和选定 \(2\) 好列时分别减去了一遍,所以要在接下来的运算中将其加回来,以此类推。

接下来考虑在这样计算列的贡献时计算行的贡献,首先每一行的贡献互不影响,考虑固定选定的列进行某一行的运算,我只要保证舍去行的全为 \(1\) 的概率即可。我们设 \(f_{i,j}\) 表示对于第 \(i\) 行,选定 \(j\) 状态列(\(j\) 是一个状压状态,这里选定其中的列就相当于在第 \(i\) 行中该位置一定为 \(1\)。),不考虑其他位置 \(0/1\) 状态的概率。这个东西显然是可以预处理的。

于是就有第 \(i\) 行在状态 \(j\) 下的贡献概率 \(g_{i, j} - g_{i, 2 ^ {n - 1}}\),其中我们减掉的是此行全为 \(1\) 的状态,也就是上文说到舍去的部分

最后对角线与列的处理相同,枚举一下状态即可,使得一行与对角线交点的位置为 \(1\) 即可。

\(\color{blueviolet}{CF1530F}\)

此题是坏题,他卡你空间。

每一个元素有选或不选两种状态,并且有依赖项,元素的贡献有正负,数据范围不大,可以自然联系到最大权闭合子图,采用最小割模型。

建模方式如下:

  1. 对于一个正权点 \(u\),连边 \(S \to u\),容量为 \(b_i\)。
  2. 对于一个负权点 \(u\),连边 \(u \to T\),容量为 \(-b_i\)。
  3. 对于所有 \(i\),对于其所有依赖的 \(j\) 连边,容量为正无穷。

但这样建边空间就爆炸了,考虑到值域很小,一个数不同约数个数不会很多。对于一个数 \(a_i\),枚举其约数 \(x\),对于每一个 \(x\) 只需要向最近的 \(x\) 建边即可,这样由于依赖关系的传递性不会出问题。

现在考虑最小割的意义,对于源点到正权点的一条边流满表示这个点我们舍弃掉了,对于负权点到汇点的边流满表示这个点我们被迫选择了,所以有答案 \(\left( \sum \limits _ {b_i > 0} b_i \right) - f\),其中 \(f\) 为最小割。

间幕 \(1\)

上午做题比较慢,应该是因为题难,感觉 CF 比 POI 普遍难做(也可能是因为评分稍高)。

中午和府捞面欲望上升,吃和府捞面,没吃早饭差点要饿死。

中午毫无犹豫直接选择昏迷,十四点多起床,状态良好,写写博客,点两杯茉莉奶绿,三点二十开始做题。

看不懂题解。

不会。

然后就晚休了。

晚上和 iazm 出去溜达,互相话疗了一下,感觉良好。

晚上写了一道题但发现假了,直接开摆。

间幕 CF 1891

A 结论很显著,切掉了。

B 显然操作完一个数之后大于等于它的就都没啥意义了,操作次数减少到最多 \(30\) 次,模拟时间复杂度降到线性对数。

C 凭感觉写了个贪心,正确行大概没问题就切掉了。

D 感觉会了,但时间不咋够。

尾声

快到两点就睡觉了。

标签:对角线,选定,Log,对于,2023.10,列全,概率,30,考虑
From: https://www.cnblogs.com/Eon-Sky/p/17793460.html

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