前言

本文旨在为初学者提供有关计算机数字编码的基础知识，以帮助他们初步理解计算机中数字编码的概念。鉴于我个人知识的限制，如有不准确之处，欢迎指正并提供建议。

文中部分内容参考ChatGPT，在此感谢ppword的大力支持。

一、无符号整数

计算机使用不同的编码方式来表示无符号整数，最常见的编码方式是二进制。在二进制编码中，无符号整数由一串二进制数字表示，每个位上的值只有0或1，没有负号。

无符号整数的表示方法很简单，就是将整数的值用二进制表示出来。

例如，要表示十进制数42作为无符号整数，可以将其转换为二进制。这里是一个示例：

1、将十进制数42转换为二进制数：

42 / 2 = 21 余 0
21 / 2 = 10 余 1
10 / 2 = 5 余 0
5 / 2 = 2 余 1
2 / 2 = 1 余 0
1 / 2 = 0 余 1

2、反向读取余数，得到二进制表示：101010

在计算机中，通常使用固定位数来表示无符号整数，例如8位、16位、32位或64位。无符号整数的范围取决于位数，例如8位无符号整数可以表示0到255之间的值，16位无符号整数可以表示0到65535之间的值，依此类推。

无符号整数的表示方法与有符号整数不同，无符号整数没有符号位，因此可以表示更大的正整数值，但无法表示负数。

二、有符号整数

在前面我们已经知道了无符号整数是怎么用二进制来进行表示了，那有符号有整数又要怎么表示呢？

我们很容易的能想到一个办法，就是在二进制中，找到一位来专门存储这个符号就可以了，比如用最高位来表示符号位。

同样的，以前面的42为例，它的有符号二进制表示为(0)0101010(以8位为例)，第1个0表示符号位为“+”，后面的是42的二进制。
那么-42就表示为(1)0101010，这就是原码。

1、什么是原码

原码是最简单的机器数表示法，用最高位表示符号位（0正1负），其他位存放该数的二进制的绝对值。

2、原码的加减运算

2.1、加法运算

• 如果两数符号位相同，就把它们的低7位相加，符号位不变。
• 如果两数符号位不同，首先比较它们的低7位谁大，然后用大数减小数，结果的符号位和大数相同。

2.2、减法运算

• 由于我们已经规定了负数的表示，可以把减法转换成加法来计算，要计算a-b，相当于计算a+(-b)。

如果采用原码来计算，那计算机做加减运算需要处理很多逻辑：比较符号位，比较绝对值，减法改加法，小数减大数改成大数减小数等。总的来说，计算机需要在意的事情越多，效率自然也会越低，那还有没有什么好的方法来解决呢？

3、什么是补码

计算机使用不同的编码方式来表示有符号整数，最常见的编码方式之一是二进制补码表示法。在二进制补码表示法中，有符号整数的最高位（最左边的位）通常用于表示符号（正负），而其余位用于表示整数的绝对值。它在计算机中广泛应用，特别是在执行整数的加法和减法运算时。

反码：如果是正数，则表示方法和原码一样；如果是负数，将其绝对值的原码各位取反，则得到这个数字的反码表示形式。

4、补码怎么计算

• 正数的补码与其原码相同。

• 负数的补码是通过对其原码取反（反码），然后加上1来获得的。

在计算机内部使用固定数量的位来表示整数：比如 32 或 64 ，简单起见，先只用 8 位举例：

5、补码的加减运算

我们直接来看一下不同符号的两个数相加，如42+(-42)的情况：

我们看到最后结果是(1)00000000，最高位已经溢出。这里要注意的是，最终的结果也是个补码，它的最高位是0，那就是下正数，所以它的原码也就是00000000，结果42+(-42) = 42-42 = 0，这不会是巧合吧？

那我们再来看一个，如35-42的情况：

得到的结果是11111001，还记得补码是怎么计算的吧，我们反向操作，把这个结果转成原码。

• 把11111001减去1，得到11111000
• 把11111000除符号位外，所有位都取反，得到10000111
• 把10000111转成十进制，结果为-7

从上面不难看出来，计算机再用补码来计算加法的时候，压根就不用考虑符号位、绝对值大小这些问题，得益于如此优雅的计算方式，使计算机可以通过加法器快速有效地完成二进制运算。

关于补码的原理，这里就不讨论了。

6、 计算机采用补码来表示数字有哪些优点

• 加法和减法可以统一处理：在补码表示法中，不论是正数还是负数，都可以用同样的方式进行加减运算，这极大地简化了硬件电路设计。

• 提高运算效率：由于补码的特性，一些复杂的数学运算可以转化为简单的位运算，从而提高运算的效率。

• 补码可以直接参与运算：补码的优点就在于它可以直接参与运算，而无需转换为原码或反码。

• 方便溢出处理：在补码系统中，可以通过观察符号位是否发生变化来方便地检测加减运算是否溢出。