Description
从前有一只小皮卡丘，这只小皮卡丘非常聪明，他喜欢和大皮卡丘玩这样一个猜数游戏——给定 \(n\) 个数，要猜的数字在 \(1\sim n\) 之间，猜一个数 \(i\) 会花费 \(a_i\) 的代价。每次大皮卡丘猜完一个数，小皮卡丘会告诉他大了还是小了。大皮卡丘想问你在最坏情况下他至少要花多少代价？
\(n\le 7000\)。
Solution
我们会发现这个每次猜一下其实就可以缩小我们答案的区间。这道题是个最优化问题，我们肯定首选 dp。\(n\le 7000\) 看上去很可以 \(f(l, r)\) 代表答案在 \([l, r]\) 内的最坏情况下要花的最小代价。
然后转移就很简单，每次猜一个答案 \(k\)。由于小皮卡丘很坏，所以它肯定会把大皮卡丘往大的方向引导，所以 \(f(l, r) = \min\{\max(f(l, k), f(k + 1), r) +a_k\}\)。但是我们会发现这是 \(O(n^3)\) 的我过不了。怎么办？
观察这个 dp 式子，这个里面有一个 \(\max\{f(l, k), f(k + 1, r)\}\)。我们看它很不顺眼，因为有个 \(max\) 我就根本没办法用任何方法优化。怎么办？拆掉。怎么拆？
我们观察一下，让 \((l, r)\) 作为状态看成定值，那么随着 \(k\) 增大，我的 \(f(l, k)\) 也会增大，\(f(k + 1, r)\) 会减小。此时我们就可以考虑先求出什么情况下哪个大，然后我们挨个优化。我们可以画一张简单的示意图
发现了没有？中间有一个交点，这个交点我们记为 \(X\)，具体来说 \(X\) 代表最大的满足 \(f(l, X) < f(X + 1, r)\) 的位置。如果我们拥有了这个 \(X\)，我们就可以知道 \(f(l, k)\) 和 \(f(k + 1, r)\) 谁大谁小了！
然后我们对 \(k\) 进行分讨——
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\(k\le X\)，此时 \(f(l, k) < f(k + 1, r)\)，那么 \(f(l, r) = \min_{l\le k \le X}\{f(k + 1, r)\ + a_k\}\)。聪明的你看到这个 dp 式子，你想到了什么？单调队列！但是这个东西吧你就不能无脑的单调队列，为啥咧？比如我们按照一般的 dp 顺序，枚举一个 \(len\)，然后升序枚举 \(l\) 再枚举 \(r\)，这个时候我的 \(r\) 也是变量，这是不行的，我们得让 \(r\) 变成一个定值。
聪明的你就会想到，我们从小到大在外层枚举 \(r\)，在内层从大到小枚举 \(l\)（为什么从大到小？这是因为这样满足区间长度逐渐变大，区间长度是区间 dp 的阶段），然后我就可以成功的把 \(r\) 看成常量了，我就可以成功的单调队列了。 -
\(k > X\)，此时 \(f(l, k)\ge f(k + 1, r)\)。因为 \(a_i\) 递增，所以我 \(f(l, k) + a_k\) 也递增，聪明的你就可以想到 \(f(l, X + 1) + a_{X+1}\) 就是最小的。