能计算虫洞模型的算筹数字计算机3

能计算虫洞模型的算筹数字计算机3                            第十一部分   古筹算考释计算电路 下面的内容可参见清劳乃宣著《古筹算考释》，清劳乃宣，字玉初，桐乡人。此集系追述古代筹算之法，凡算术之涉乎筹者，均徽引著书，祥为考释。卷一筹制、算位、乘除、开方；卷二，今有、诸分；卷三，衰分、盈不足；卷四，方程；卷五，天元，卷六：正负开方。另有光绪九年葵未七月自序，约章篆要附西教源流考。按此书会刊于光绪十二年。 乘除 《孙子算经》曰，凡乘之法，重置其位，上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千，以上命下，所得之数，列于中位，言十自过，不满自如，上位乘讫者，先去之，下位乘讫者，则俱退之，六不积，五不复，上下相乘，至尽则已。重置其位者，置实于上，置法于下，空留中位，以待乘得之数也。上下相观者。法与实单当，单十当十也，步者，进法数于实首位之下，以定乘出之位也。以法单位当所乘位，法单位下如有奇零不计。言十即过不满自如者，上下相呼满十者，过法数前一位置之，不满十者，如法数本位置之也，一一如一，二二如四，如字之解九是，乘讫去上位，退下位者，实首位既乘八毕，收去不用，退法以当实次位而二木之也。相乘至尽，上下俱收，中位所得，乃乘出之数也。 注释：上面一段话的描述的是通过算筹计算两个数相乘的过程，这种计算方法和我们现在用笔算计算两个数相乘的过程是相同的。我们用笔算计算两个数相乘的过程如下，两个数相乘，先用被除数和乘数的个位，百位，千位等相乘，得到的数相加就是两个数相乘的结果。 又曰凡除之法与乘乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实，以六除一，则法多而实少，不可除。故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之。不当后退。故三步法十者置于十位，百者置于百位。上位有空本位，法退二位。本位皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实为子， 乘得在中央，除得在上方者，除法置实于中。置法于下，得数在上，除之实数，即乘之得数，故在中，除之得数，乃乘之实数，故在上，还原之理也。其步法，实满法者，进法首齐实首，实不满法者，实法首退实首一位，步定乃商之，视实足法几倍，即商几数。置之上位，凡商恒当法单位，不步者，法单本在单，即商单。步进一位者，法单在十，即商十，步进二位者法单在百，即商百，千万以上者皆然。故曰步法十者置于十位，百者置于百位也。与乘法以法单当所乘正相对待，商定以商典法相呼而除实。言十即遇不满自如，与乘法同，除法古谓之实如法而一，言实首如法者一为一，有如法者几则为几，即此商除之理也。除已，退法一位，再商除之，一退实仍不满法者，再退之，商数当空一位，所谓上位有空绝者法退二位也。除实适尽收去法数，上商即得数也， 原书注释： 凡除法至单而至，其有除至单数，而何有不尽之所实者，着再退位商之，其数奇零，修多能尽，故立命为之法，其法以法数为分母，以不尽之余实为分子，命之曰几分之几母者，将一整数刻为若干零分之母知此子者，为商中零分之几分也。注释结束。 故曰实为余者，以法命之，以法为母，实为子。 孙子算经曰，九九八十一自乘，得几何，答曰，六千五百六十一，术曰，重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位，以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上位八十，以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十，以上为一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。         孙子算经又曰，六千五百六十一，九人分之，问人得几何，答曰，七百二十九，术曰，先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人，为法，上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位置二十，以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位更置九，即上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位益尽，收下位上位所得，即人之所得，此除法也亦依法定草绘图以明之。     注释，上面说明的计算乘法，除法的过程和用笔算计算乘法除法的过程类似，都是通过一位数和上面的数相乘，相除，得到计算结果。可以用电路描述上面的计算过程，就是说上面的算筹怎么变化，电路就怎么选择那个算筹对应发光二极管量，这需要大量的数字判断，选择电路来实现。   梅氏笔算曰，假如十九人分银二百五十四两，问各若干，答曰，九十三两零十九分两之七。此命分法也，凡除之不尽者，皆当以法命之，所以通除法之穷也，古人言除法，必言命分笔算，所之抄皆自此如生矣。 置银二百五十四两于中位，为实，置十九人于下位，为法，步进一位而商之，商一，置一于上十位，以上一呼下，于中位除去一百九十。余六十四，为次商实，退下位一等而商之，商三，置三于上单位，以上呼下，于中位除去三十，二十七，上商得一十三两，中实除七已至单位，最再退下位而商一，当得三钱六分八里四毫二丝一白，省当修不能尽，故商之单位为下必再除，便命下法十九为分母，中位实七为分子，是为各十三两零十九分两之七也。每人得十三两，又等每一两分为十九分中之七分，皆上位整数，下位分母也，皆为分子也。 上面描述的是下面的计算过程， 254/19=13*(7/19)，254-190=64。64-19*3=7。   二，开方 九章算术曰，今有积五万五千二百二十五步，开为方几何，答曰，二百三十五步。古法草曰，置积五万五千二百二十五步于上，为实，中空一层，借一算置于下，乃步之，超一等进至百，再超一等进至万，是为万之面百，议得二百，置二于实上百位，是为议所得，即初商也。空初商法视借哉可步上实数足几数之自乘，即商即，合实数五足二二自乘数四，故实为二， 以乘所借一算，一二如二，置二百于实万下，是为实法，即方法也，以议二百与法二百相乘，二二如四，于实中除去四万，所谓议所得以一乘所借一算为法，而以除也。余实一万五千二百二十五，为次商实，乃倍方法二百为四百，退一等，置千下，所谓除已倍法为定法，其后除折而下也，以所借哉超一等退至百，是为言百之面十，议得三十，置三于实上十位，是为复议，即次商也，（空次商法以方法约实足几倍，即商几命实数十五足方法，四之三倍，故空为三三商以后仿此）。 以乘借算，一三如三，得三十，副置之，以加定法，得四百三十，以议三十与之相乘，三四一十二，三三如九，与实法中除去一万二千九百，所谓所得副以加实法以除也，余实二千三百二十五，为三商实，乃以副置之三十加于实法，得四百六十，退一等，置于百下，以借算超一等退至步，议得五步，置五与实上单位，即三商也，以乘借哉。一五如五，加定法，得四百六十五，以议五与之相乘，四五二九五六三十，五五二十五，共二千三百二十五，以除实，适尽，所谓以所得副从定法复除折下如前也，乃收去方法，及借算，上议二百三十五步，即方也。 注释：用算筹计算55225的平方根的过程，从55225的末位5开始，隔一位做一点，即作三点，得到开方数为3位数，先在方筹内查找和5相近的数，得到4在4和9之间，因为2*2等于4，得到开方数的第一位数是2，在用55225减去40000得到15225，2乘以2等于4，，3乘以4等于12小于15，所以得到开方结果的第二位数是3。430乘以30等于12900，15225减去12900等于2325，430加上30等于460，465乘以5等于2325。所以，得到开方结果435。 可以用下面的公式表示上面的计算过程，            2   2                2    2                 (a+b+c)   =a   +2ab+2ac+2bc+b   +c 上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435 即                      2            55225=435       增乘法草曰，置积五万五千二百二十五于上，为实，中方空，置一算于下为偶，偶进二位为步进一次，凡步进二次，偶立万下初商当为百，乃商之，初商二，置于实上百位，以商乘偶，一二如二..，置二于中位为方，以商乘方，二二如四，于实中除去四万，余一万五千二百二十五，为次商实，以商乘偶，一二如二，入二于中位，共得四，退一位，为次商方，偶退二位，为次商偶，又商之，次商三，置于实上十位，以商乘偶，一三如三，入三于方，为四三，以商乘方，三四一十二，于实中除去一万二十，三三如九，于实中除去三商实，以商乘偶，一三如三，入三于中位，得四六，退一位，为三商方，偶退二位，为三商偶，又商之，商五，置于实上单位，以商乘偶一五为五，入五于方，为四六五，以商乘方，四五二十，于实中除二千，五六三十，于实中除三百，五五二十五，于实中除二十五，适尽，收去方偶，上商，得二百三十五步，即方也。 注释：用算筹计算55225的平方根的过程， 2*2=4，55225-40000=15225，3*4=12，15225-12000=3225，4*5=20，3225-2000=1225，5*6=300，1225-300=925，5*5=25，925-25=900，3*3=9，900-900=0。 可以用下面的公式表示上面的计算过程                    2    2                2      2              (a+b+c)   =a   +2ab+2ac+2bc+b   +c 上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435， 即                      2              55225=435     孙子算经曰，今有积二十三万四千五百六十七步，问为方几何，答曰，四百八十四步九百六十八分之三百一十一。 此实偶商法后，以方为母，即不加借哉命分法也。 置积二十三万四千五百六十七步于上，为实，中方空，借一算于下，为偶步进二次，商四，以商乘偶得四，置于中位为方，以商乘方得一六，以除实余七万四千五百六十七，为次商，实以商乘偶得四，入方收八，方退一，偶退二，商八以商乘偶得八，入方得八八，以商乘方法得七〇四，以除实余四千一百六十七，为三商实，以商乘偶得八，入方得九六，方止一，偶退二，商四，以商乘偶得四，以商乘方得三八五六，以除实余三百一十一，为分子，以商二得四，入方得九百六十八，为分母收方偶哉，即得四百八十四步九百六十八分步之三百一十一也。 注释：用算筹计算234567的平方根的过程， 4*4=16，234567-160000=74567，80+8=88，88*8=704，74567-70400=4167，3*4*8=96，960+4=964，4167-3856=311，960+4*2=968，400+80+4=484， 可以用下面的公式表示上面的计算过程       2      2                2      2       (a+b+c)    =a   +2ab+2ac+2bc+b    +c 上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435， 即                      311    2          324567=(484       ）                      968   第一部分用正割对数计算积分的方法   一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率 tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x， 函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率， tga=u(x)，tga=sina/cosa， 导数等于微分，微分积分后变成原函数，即          f`(x)=       tga=f(x)       因为，a=arctgf`(x)， 根据泰勒展开             3        5               2n+1            x        x           n   x          2n+2 arc tg x=x-       +         -...+(-1)          +o(x      )                3        5              2n+1            所以,             3        5                 2n+1           f`  (x)   f`   (x)          n  f`   (x)       2n+2  a=f`(x)-        +         -...+(-1)             +o(x      )                3        5                2n+1            方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著 因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`,所以,                                  sina             d(cosa)              f`(x)=       tgada=               da=-              =-lncosa+C                                       cosa              cosa    根据泰勒展开             2        5        6               2m            a        a       a           m   a         2m+1 cosa=1-       +        -         -...+(-1)          +o(a      )                2!        4!      6!             (2m)!   所以,                      2        5        6               2m                     a        a       a           m   a         2m+1 f(x)=-lncosa+C=-ln[1-       +        -         -...+(-1)          +o(a      )]+C                        2!        4!      6!             (2m)!    可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册                              6       9)写出函数ln cos x的展开式至x  的项。根据5)                                1         2   1         3           3  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o((cos x-1)  )                               2            2                                1         2   1         3     6  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o(x  )                               2            2  所以,                              1         2   1         3           3 f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o((cos x-1)  )                               2            3                                1         2   1         3     6 f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o(x  )                               2            3                         2        4        6                                a        a       a          6 f(x)=-lncosa+C=       +        -         +o(a      )                      2        12     40                           方法2, 推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,      9.        tanudu=logsec u   +C         10.        cotudu=logsin u   +C   lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ, 所以,                                    sina             d(cosa)              f`(x)=       tanada=               da=-             =-lncosa+C=lnseca+C                                 cosa              cosa    所以,                                  cosa             d(sina)              f`(x)=       cotada=               da=-             =lnsina+C                          sina              csina    因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x, 所以,                                        f(x)=       tgada=logsec a   +C      根据泰勒展开                      2        3        5               n                     x        x       x           n-1   x         n ln(1+x)=x-       +        -         -...+(-1)           +o(x   )                        2        3     4                 n  所以,                              1         2   1         3           3 ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)-     (sec x-1) +     (sec x-1)  + o((sec x-1)  )                               2            2                                1         2   1         3     6 ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)-     (sec x-1) +      (sec x-1)  + o(x  )                               2            2 所以,                              1         2   1         3            6 f(x)=lnseca+C=(sec a-1)-     (sec x-1) +      (sec x-1)  +o((sec a-1)    )                               2            2                                1         2   1         3       6 f(x)=lnseca+C=(sec a-1)-     (sec x-1) +      (sec x-1)  +o(a   )                               2            2 因为,             2        5        6               2m            a        a       a           m   a         2m+1 cosa=1-       +        -         -...+(-1)          +o(a      )                2!        4!      6!             (2m)!   lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, 所以,                                   2        5        6               2m                           a        a       a           m   a         2m+1 f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1-       +        -         -...+(-1)          +o(a      )+C                               2!        4!      6!             (2m)!   因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，, 清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理   当45°≥θ>0°时,               2       4              6                   8              θ       θ      2       θ     2      16     θ      2    16     272 lnsecθ=       +            +                     +           2        2    3*4      2    3*4     5*6     2    3*4   5*6    7*8             10                                  2n       S                θ      2    16    272   7936        θ             n    +                                 +…+                        2      3*4  5*6   7*8   9*10        2      (n+1)(n+2)...*2n   上式中，                           S     *(2n-2)(2n-1)                S     *(2n-2)(2n-1)                                        n-2                              n-3        S    *2n(2n+1)                          *2n(2n+1)                *2n(2n+1)                       n-1                     1*2         S   =                  -                                 +                  …-2                n        1*2                          3*4                           5*6           例如： 2                                                              S   =2                                                                  1      2*4*5         -2*2=16                                                 S   =16               1*2                                                            2               20   16*6*7   336*8*9           -         +2*4=272                                      S   =272             1*2      3*4                                                    3       336       70    16*6*7   336*8*9   70*8*9         -         +           -2*4=7936                          S   =7936              1*2      3*4       5*6                                          4        9792     2016       168        7936*10*11   9792*10*11   2016*10*11   168*10*11              -            +            -           +2*5=353792    S   =7936                1*2          3*4          5*6         7*8                      5            436480        89760       7392           330 当67.5°≥θ>45°时 lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,   当78.75°>θ≥67.5°时 lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2, 当84.375°>θ≥78.75°时 lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2, 当85.375°>θ≥84.375°时 lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2, 当86.375°>θ≥85.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2, 当87.375°>θ≥86.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2, 当88.375°>θ≥87.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2, 所以, f(x)=ln sec a+C=           2       4             6                   8              a       a      2       a     2      16     a      2    16     272        +             +                     +           2        2    3*4      2    3*4     5*6     2    3*4   5*6    7*8 所以, f(x)=lnseca+C-lncosa+C=             2        4        6               2m            a        a       a           m   a         2m+1 -ln[1-       +        -         -...+(-1)          +o(a      )]                2!        4!      6!             (2m)!   因为, y`=tga, 所以, a=arctgy`,所以, f(x)=ln sec a+C=       2         4                 6                       8       arctg  y`   arctg  y`    2     arctg  y`   2      16     arctg  y`   2   16     272      +                +                        +      2          2      3*4       2      3*4     5*6      2      3*4    5*6   7*8 所以, f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=              2         4            6               2m      arctg  y`   arctg  y`    arctg  y`         arctg  y`      2m+1 -ln[1-         +           -          -...+(-1)          +o(arctg   y`  )]+C             2!        4!          6!              (2m)!   上式中                 2        3              4                     5                    (1-N)     (1-N)     2     (1-N)    2     3      (1-N)    2     3     4     lnN=[(1-N)+        +              +                    +                                   2        2      3       2      3    4       2      3     4     5           n                  (1-N)    2     3     4       n-1                +..+                          …        ]        2     3     4      5       n    上式中，N<1 当N>1时，              m               lgN=m-[(1-N/10    )+          m   2       m   3               m  4                  m   5        (1-N/10   )    (1-N/10   )    2     (1-N/10   )    2   3     (1-N/10   )   2   3  4      +                    +                      +                           2            2        3          2       3    4          2       3   4  5               m  n                  (1-N/10  )    2     3     4       n-1                +..+                              …        ]        2         3     4      5       n                  m         上式中，N/10   <1 例如： 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译                                        3                    3         3 例2.        x       1+x    dx,设1+x=t    ,有x=t   -1                                            3                    3         3                6    3                x       1+x    dx=     (t    -1)t*3t    dt=3        (t    -t    )dt=                    7       4       3        7      3       4          =3t   /7-3t   /4+C=3    (1+x)    /7-3     (1+x)    /4+C   解法2，根据上面的公式，                                        3                            x       1+x    dx         =ln sec a+C=       2         4                 6                       8       arctg  y`   arctg  y`    2     arctg  y`   2      16     arctg  y`   2   16     272      +                +                        +      2          2      3*4       2      3*4     5*6      2      3*4    5*6   7*8              3       2      3       4             3       6                   arc(x    1+x  )  arc(x    1+x  )    2    arc(x    1+x  )     2    16         =              +                     +                             +     2                2           3*4         2         3*4   5*6                  3       2                               arc(x    1+x  )     2      16     272                                                       2             3*4     5*6     7*8     解法3，根据上面的公式，                                        3                            x       1+x    dx         =-ln cos a+C=            2         4            6               2m      arctg  y`   arctg  y`    arctg  y`         arctg  y`      2m+1 -ln[1-         +           -          -...+(-1)          +o(arctg   y`  )]+C             2!        4!          6!              (2m)!               3        2        3       4        3        6             3       2m      arc(x    1+x  )    arc(x    1+x  )    arc(x    1+x  )          arc(x    1+x  )   -ln[1-               +                 -                  -...+(-1)                   2!                4!                   6!                     (2m)!              3        2m+1 +o(arc(x     1+x  ))       ]+C         在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以， y`   =1/x`   x      y 也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得     y`    dx=       dy/x`     x                 y   y    =ln│x   │+C   x         y 也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,                              -1                           设y    =f(x),反函数为x    =f   (y)     x                 y            -1                f(x)=ln│f    (y)│+C                                        因为, f(x)=-lncosa+C=             2        4        6                          a        a       a           6 =       +        +          +o(a   )                2       12       40         上式中tga=y`=f`(x)=y/x, f(x)=-lncosa+C=             2        4        6                          a        a       a           6        -1                =       +        +          +o(a   ) =ln│f   (y)│+C           2       12       40                       2        4       6                               a        a       a                          [       +        +       ]      -1      2       12       40    f    (y)=e                                    同理可证                   2        4       6                               b        b       b                          [       +        +       ]      -1      2       12       45    f    (x)=e  上式中           -1         tgb=f`   (y)=x/y           第二部分通过导数斜率计算积分的方法 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x， 函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa， 根据泰勒展开             3        5        7                2m            a        a       a           m-1   a         2m sina=a-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )  (a→0)              3!        5!      7!               (2m)!                 2        4        6               2m            a        a       a           m   a          2m+1 cosa=1-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )  (a→0)              2!        4!      6!              (2m)!                 3        5        7               2m-1            a        a       a           m-1  a          2m arc tg a=a-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )  (a→0)              3        5       7              2m-1   可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册             3                    a           4  tg a=a+         +o(a    )             3                       3                    a           4  u(x)=a+         +o(a     )             3         或者， 推导过程可参见三角函数计算页 u(x)=tgα=2√2kα/π， 上式中，k=1.3，或，        3        2                     k=0.33α    +0.5α    +α+1 或者， 推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印， 推导过程参见三角函数的求法缀术页，                                         2    2                           4α/π(2-8√2α/π+32α  /π   )       tgα=sinα/cosα=                                        当60°<α≤90°时，                                          2    2                      1-4α/π(2-8√2α/π+32α  /π  )                                                   2    2                           α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π   )    tgα=sinα/cosα=                                         当30°<α≤60°时，                                       2     2                      1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π  )                                                 2    2                            α3√2/π(2-12α/π+36α   /π   )  tgα=sinα/cosα=                                         当0°<α≤30°时，                                          2     2                      1-α3√2/π(2-12α/π+36α  /π   )       或者， 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册， 推导过程参见惠更斯公式页，                           2               2                   8+6α   ±2     4-2(-3α    +16) tgα=sinα/cosα=                        2                2±    4-2(-3α   +16) 或者， 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰， 收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，                4         3        2                                 tgα≈7.5*(0.3α    +0.2α    +0.2α   +0.2α+1)/2*1.01537228απ 或者             3        5        7                         α        α       α          tgα=α+        +        +                   3        60      630             或者 tga=sina/cosa=             3        5        7                2m            a        a       a           m-1   a         2m a-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3!        5!      7!               (2m)!                 2        4        6               2m            a        a       a           m   a          2m+1 1-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )              2!        4!      6!              (2m)!                 3        5        7                2m            a        a       a           m-1   a         2m a-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3!        5!      7!               (2m)!   u(x)=             2        4        6               2m            a        a       a           m   a          2m+1 1-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )              2!        4!      6!              (2m)!   设u(x)=t,得             3                    a           4 t=a+         +o(a     )          3      或者,                           3        5        7                2m            a        a       a           m-1   a         2m a-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3!        5!      7!               (2m-1)!   t=             2        4        6               2m            a        a       a           m   a          2m+1 1-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )              2!        4!      6!              (2m)!   解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t], a=φ[u(x)], a=φ[t],   3 a   +3a-3t=0 根据一元三次立方根的卡尔丹公式,       3              方程x   +px+q=0的解有三个分别是           3                           3                                                                                 2       3                    2        3                                      -q        q       p            q        q       p    x   =       +        +         +   -      -        +       1      2        4      27            2        4       27                 3                           3                                                                                 2       3                    2        3                                      -q        q       p     2     q        q       p    x  =ε       +        +      +ε   -      -        +       2      2        4      27           2        4      27                 3                           3                                                                                 2       3                    2        3                                   2   -q        q       p          q        q       p    x  =ε       +        +      +ε   -      -        +       3      2        4      27           2        4      27         其中,   3 ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε  =1, ε  =-1/2+i√3/2, ε  =-1/2+i√3/2,   0      1               2 推导过程可参见7.复数的方根, 根据上面的卡但公式，得       3       方程a   +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,           3                           3                                                                                 2                           2                                             3t       9t      27           3t       9t       27   a  =φ[t]=       +        +         +         -        +     0       2        4      27            2        4       27                 3                           3                                                                                 2                           2                                            3t       9t       27     2     3t      9t      27   a =φ[t]=ε      +       +       +ε          -        +    1        2        4      27            2        4      27                 3                           3                                                                                 2                           2                                         2   3t      9t      27           3t       9t      27   a =φ[t]=ε      +        +      +ε           -        +    2        2        4      27           2        4      27         因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即 tga=y/x, 因为, a=φ(t), u(x)=t, 所以, a=φ[u(x)],  tga=tg{φ[u(x)]}=y/x,  y=x*tga=x*tg{φ[u(x)]}=x*tg[φ(t)] y=x*tga=         3                           3                                                                                 2       3                    2        3                                      3t        q       p            3t      q       p    x*tg{       +        +         +          -        +              2        4      27            2        4       27         或, y=x*tga=             3                           3                                                                                 2                           2                                            3t       9t       27     2     3t      9t      27   x*tg{ε        +       +       +ε           -        +       }           2        4      27            2        4      27       或, y=x*tga=             3                           3                                                                                 2                           2                                         2   3t      9t      27          3t        9t      27   x*tg{ε        +        +      +ε         -  -       +        }           2        4      27           2        4      27         上式中，             3                    a           4 t=a+         +o(a     )          3      这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，   导数计算公式： 因为， tga=tgφ[u(x)]=y/x， arctg(y/x)=φ[u(x)]=a， 因为u(x)=t,             3                    a           4 u(x)=t=a+         +o(a     )          3      或，u(x)=tgα=2√2kα/π， 上式中，k=1.3， 或，         3        2                  k=0.33α    +0.5α    +α+1 或 推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印， 详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页， 推导过程参见三角函数的求法缀术页，                                     2    2                           4α/π(2-8√2α/π+32α  /π   )       tgα=sinα/cosα=                                       当60°<α≤90°时，                                      2    2                      1-4α/π(2-8√2α/π+32α  /π  )                                                   2    2                           α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π   )    tgα=sinα/cosα=                                        当30°<α≤60°时，                                       2     2                      1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π  )                                                 2    2                            α3√2/π(2-12α/π+36α   /π   )  tgα=sinα/cosα=                                          当0°<α≤30°时，                                      2     2                      1-α3√2/π(2-12α/π+36α  /π   )     或，               3        5        7                2m-1            a        a       a           m-1   a         2m a-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3!        5!      7!               (2m)!   u(x)=t=             2        4        6               2m            a        a       a           m   a          2m+1 1-       +        -         -...+(-1)           +o(a      )              2!        4!      6!              (2m)!   因为, tga=y`=f`(x)=u(x)                         3                                          arctg    (y/x)          y`=u(x)=t=arctg(y/x)+                         3                        3         5          7                        2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!   y`=u(x)=t=                      3         4          6                        2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!   这样就得到由原函数y构成的导数y`,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,           3              a       4 a+       +o(a   )=      3                             3         5          7                     2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!                          3         4          6                    2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!             3              a       4 a+       +o(a   )=t,      3                3              a        a+       -t=0,  3           3 a    +3a-3t=0, 解这个一元三次方程式得,           3                           3                                                                                 2                           2                                             3t       9t      27           3t       9t       27   a  =φ[t]=       +        +         +         -        +     0       2        4      27            2        4       27                 3                           3                                                                                 2                           2                                            3t       9t       27     2     3t      9t      27   a =φ[t]=ε      +       +       +ε          -        +    1        2        4      27            2        4      27                 3                           3                                                                                 2                           2                                         2   3t      9t      27           3t       9t      27   a =φ[t]=ε      +        +      +ε           -        +    2        2        4      27           2        4      27         其中,   3 ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε  =1, ε  =-1/2+i√3/2, ε  =-1/2+i√3/2,   0      1               2 推导过程可参见7.复数的方根, 上式中,                        3         5          7                     2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!   t=                      3         4          6                    2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!   或者，             3                    a           4 t=a+         +o(a     )          3                             3                           arctg    (y/x)           t= arctg(y/x) +                             3        因为, tga=y`=f`(x), 所以, tga=y`=f`(x)=         3                           3                                                                                 2                           2                                             3t       9t      27           3t       9t       27   tg[       +        +         +         -        +             2        4      27            2        4       27         tga=y`=f`(x)=           3                           3                                                                                 2                           2                                            3t       9t       27     2     3t      9t      27   tg[ε       +        +       +ε          -        +             2        4      27            2        4      27         tga=y`=f`(x)=         3                           3                                                                                 2                           2                                         2   3t      9t      27           3t       9t      27   tg[ε       +        +      +ε           -        +             2        4      27           2        4      27         上式中,                          3         5          7                     2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!   t=                      3         4          6                    2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!   或者，             3                    a           4 t=a+         +o(a     )          3                               3                           arctg    (y/x)           t= arctg(y/x) +                             3        这样就得到由原函数y构成的导数y`，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`， 例如： 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译， 例1.             √x                    e                   dx        √x            2        设x=t    ,则有               √x              t            e               e                 t       t         √x                                 dx=            2tdt=2       e   dt=2e    +C=2e      +C        √x             t       解法2，用上面的公式求解 y=x*tga=           3                           3                                                                                 2                           2                                             3t       9t      27           3t       9t       27   x*tg{       +        +         +         -        +        }           2        4      27            2        4       27         上式中             3                    a           4 t=a+         +o(a     )          3                            3                           arctg    (y/x)           t= arctg(y/x) +                             3        因为, y`=tga, a=arctgy`, 所以,                  3           √x        x√x                 arctg    y`     e           e    t=arctgy`+             =          +                    3         √x         3x√x y=x*tga=         3                                            √x      x√x                                                  e        e      2              √x      x√x         9(       +         )                                       3e        e                √x       3x√x         27   x*tg{          +        +                            +                    2√x     2x√x                    4                27                3                                            √x      x√x                                                  e        e      2              √x      x√x         9(       +         )                                       3e        e                √x       3x√x         27   +          +        -                            +                    2√x     2x√x                    4                27       所以,                        3         5          7                     2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!   y`=u(x)=t=                      3         4          6                    2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!                          3  √x       5    √x        7    √x          2m-1  √x       √x      arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x) arctg (2e   /x)-              +              -              -...+(-1)                                   3!            5!           7!                  (2m-1)!   =                   2  √x        4   √x        6   √x            2m  √x               arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x) 1-              +              -              -...+(-1)                                   3!            5!           7!                  (2m)!   所以, tga=y`=f`(x)=                3                           3                                                                                 2                           2                                             3t       9t      27           3t       9t       27    tg[       +        +         +         -        +        ]           2        4      27            2        4       27         上式中,                      3         5          7                     2m-1                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m arctg(y/x)-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       3!           5!      7!                  (2m-1)!   t=                      3         4          6                    2m                  arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1 1-          +           -           -...+(-1)              +o(a    )                       2!           4!       6!                  (2m-1)!                          3  √x       5    √x        7    √x          2m-1  √x       √x      arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x) arctg (2e   /x)-              +              -              -...+(-1)                                   3!            5!           7!                  (2m-1)!   =                   2  √x        4   √x        6   √x            2m  √x               arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x) 1-              +              -              -...+(-1)                                   3!            5!           7!                  (2m)!   或者                  3                                 arctg   (y/x)     t=arctg(y/x)+                 3                          3      √x                       √x        arctg   (2e   /x)     t=arctg(2e   /x)+                          3      推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版， 41.三次与四次方程， 说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：   3    2                                     y   +ay  +by+c=0                  (1) 设y=x+h,得      3       2                                (x+h)  +a(x+h)  +b(x+h)+c=0  3        2     2           3                                          x  +(3h+a)x  +(3h  +2ah+b)x+h  +bh+c=0 上面方程可转化为,   3                                 x  +px+q=0                (3) 其中, y=x-a/3,                (2) h=-a/3,      2          2                             p=3h  +b+2ah=b-a  /3,       3        3                                      q=h  +bh+c=-a  /27-ab/3+c, 只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,       2 f(u)=u  -x0u-p/3, 它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得, α+β=x0                              (4)   αβ=-p/3                            (5) 以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：      3                          (α+β)  +p(α+β)+q=0, 或,    3   3                                      α  +β  +(3αβ+p)(α+β)+q=0, 但由(5)得3αβ+p，故有,    3   3                                    α  +β  =-q             (6) 另一方面，由(5)推得,    3    3   3                          α   β   =-p  /27       (7)                          3    3                                      等式(6)与(7)证明了，数α  和β  是系数为复数的二次方程,            3                     2      p               z   +qz-      =0           (8)           27 的根, 解方程(8)，我们得到：                                                                   2       3                                                              q           q       p           z =-       ±          +             2            4      27                     3                                                                           2       3                                                                 q         q       p           α=   -      ±         +               2          4      27                     3                                                                           2       3                                                                q         q       p           β=  -      ±         +                    (9)         2          4      27                 注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,                               3         3                             故对方程的根(S)的根，以何者为α  何者为β  是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变. 即,      3                                                                           2       3                                                                 q         q       p           β=   -      ±         +               2          4      27                     3                                                                           2       3                                                                q         q       p           α=  -      ±         +                    (9)         2          4      27               或,                3                                                                           2       3                                                                 q         q       p           α=   -      ±         +               2          4      27                     3                                                                           2       3                                                                q         q       p           β=  -      ±         +                    (9)         2          4      27               两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：         3                           3                                                                                         2       3                    2        3                                      q        q       p            q        q       p    x0=α+β=       +        +         +   -      +        +             2        4      27            2        4       27       因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。 注意：ε是1的立方根，即    3 ε  =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε  =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,   0      1             2    下面内容为插叙 推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版, 7.复数的方根,   在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以， y`   =1/x`   x      y 也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数, x`   =1/y`   y      x 因为,                             3                             arctg   (y/x) y`=u(x)=t=arctg(y/x)+                        3   所以,                         1 x`   =1/y`  =   y      x                   3                                  arctg   (y/x) arctg(y/x)+                              3 推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版, 因为,     m         m(m-1)    2     m(m-1)...(m-n+1)   n     2n+2 (1+x)  =1+mx+           x  +…+                x    +o(x   )                  1*2                1*2...n                 2                所以,当x   =-x   ,m=-1/2时，有       1           1    2   1*3     4      1*3*….(2n-1)     2n     2n+2 =1+        x  +       x   +…+                x    +o(x   )          2        2         2*4             2*4*…2n    1-x   两边积分得                      3               5                         2n+1                                  1     x      1*3      x         1*3*….(2n-1)      x         2n+2 arc sin x=x+              +              +…+                          +o(x   )                   2     3      2*4      5         2*4*…2n       2n+1       在区间(-π/2,+π/2),             3        5        7                2n+1            x        x        x           n    x         2n+2 arc tg x=x-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3        5       7                2n+1   当x=1时，由上式可得,   π        1        1        1           n    1        =1 -       +        -         -...+(-1)            +…   4         3        5       7                2n+1                     1      2        3            n x        x       x        x            x          n+1        e   =1 +       +        +         +...+          +o(x      )             1      1*2     1*2*3         n!            loga    x    xloga 因为a=e      , a   =e 所以,                     2     2        n      n x      xloga    x  (loga)        x  (loga)      n+1        a   =1 +       +            +...+          +o(x      )             1        2!             n!                       2      3      5                   2n+1          1-x     π        x       x            n-1   x          2n+2        arctan      =       -x+       -        +...+  (-1)            +o(x      )         1+x     4         3       5                2n+1               在区间(-π/2,+π/2)       1                  1-x         1        1          1`              dx=1+       +       +...+         其中m为正整数│x│<1       0   1+x         2       3          m                          2        4      6                   sinx      x        x      x            log      =(-       +       -        +…)      x       3!        5!     7!                               2       4      6                    1      x       x       x        2    -     (-       +       -        +…)  2       3!      5!      7!                          2       4      6                    1      x       x       x        3    +     (-       +       -        +…)  3       3!      5!      7!                           2       4      6                    n+1  1      x       x       x        n    -...+(-1)       (-       +       -        +…)   n       3!      5!      7!                                                          n+1  2n+2  (n+1)  x+θx  2                    1                  2             n  2n  (n)     (-1)    x     f    [      ]                             x             x           (-1)  x   f   (x)                       1+n               (     )dx=f(x)-       f``(x)+...+                 +              0   1+x          1+x                n                    n+1                                 (1+x)                 (1+x)     (n+1)! 求     1                  log(1+x)                  0    1+x               推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著 推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著                     3               5                         2n+1                                  1     x      1*3      x         1*3*….(2n-1)      x         2n+2 arc sin x=x+              +              +…+                          +o(x   )                   2     3      2*4      5         2*4*…2n       2n+1                   3        5        7                2n+1            x        x        x           n    x         2n+2 arc tg x=x-       +        -         -...+(-1)            +o(a      )              3        5       7                2n+1                           1          2     2                     =1-x+x   +o(x  ）       1+x                     1         3    2         n+1  1*3*….(2n-1)  n     2n+2 1+x    =1+       x  -       x   +…+(-1)                x    +o(x   )                  2          8                  2*4*…*2n       1           1         3    2         n   1*3*….(2n-1)  n     2n+2 =1-        x  +       x   +…+(-1)                x    +o(x   )                  2          8                  2*4*…*2n    1+x     可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 4)今考察幂函数x   , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x  =0.                              m                                             0 取x  =1，即依(x-1)的幂而展开x   . 0 如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成                           m 为依x的幂而展开函数（1+x）  了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.  (k)                     m-k            f  (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)            (k)        因此f(0)=1,f  (0)=m(m-1)...(m-k+1) 展开式的形式就是     m         m(m-1)    2     m(m-1)...(m-n+1)   n     n (1+x)  =1+mx+           x  +…+                x    +o(x   )                  1*2                1*2...n 特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有   1         2     2        =1-x+x  +o(x  )  1+x            1       1   2     2 1+x=1+       x-      x  +o(x  )          2       8   1        1       3    2     2   =1+       x-      x  +o(x  ) 1+x      2       8                                                                3                                                               x 在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即                                                              1+x 至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出 5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数. f(x)=ln(1+x) 并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)                        k-1   (k)    (-1)   (k-1)!         f   (x)=                k           (1+x)            (k)     k-1  f(0)=0, f  (0)=(-1)  (k-1)! 注;记号0！我们永远理解为1 由此                  2     3                n                x      x         n-1    x           n     ln(1+x)   =x-        +      -......+ (-1)            +o(x  )                2      3               n   6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：  (2m)       (2m-1)    m-1 f(x)    (0)=0, f(x)    (0)=(-1)   (2m-2)! 根据戴劳公式（11），可得                                                         (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc tg x=f(0)+           x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                                                                             1-1  (2*1-2)!   0   2    2-1  (2*2-2)!  3      n-1 (2*n-1)! n    n  arc tg x= arc tg 0 + (-1)          x+    x  +(-1)           x  +…+(-1)         x + o(x  )                           1!       2!            3!                n!       于是它的展开式可表示为                  3     5                 2m-1                x      x          m-1   x         2m    arc tg x=x-          +      -......+ (-1)            +o(x  )                3      5              2m-1 6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：  (2m)                          (2m-1)    m-1 f(x)    (0)=0, （当2m为偶数时）f(x)    (0)=(-1)   (2m-2)!, （当2m-1为奇数时） 根据戴劳公式（11），可得                                                         (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc ctg x=f(0)+          x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                       1  (2*1-2)!    0   2    2  (2*2-2)!   3      m-1  (2*m-1)!  n  n  arc ctg x= arcctg 0 + (-1)         x+    x  +(-1)           x  +…+(-1)           x + o(x )                           1!       2!            3!                   n!       于是它的展开式可表示为                  3     5              2m-1                x      x          m   x         2m    arcc tg x=-x+         -      -......+ (-1)          +o(x  )                3      5              2m-1   6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：   (2m)      (2m-1)       m-1      2   2        2   m-1        2 f     (0)=0, f       (0)=(-1)    1  *3   ...(2m-1)  =(-1)    [(2m-1)!!] 于是它的展开式可表示为                                                                                                           (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc sin x=f(0)+         x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                  2                       2              2                     1-1  (2*1-1)!!   0   2    2-1  (2*2-1)!!  3     (2*n-1)!!   n    n  arc sin x= arc sin 0 + (-1)          x+    x  +(-1)           x  +…+          x  + o(x  )                            1!       2!              3!             n!                                                                    2                  (2*1-1)!!     0   2    2!!* 2!!   3      (2*n-1)!   n    n  arc sin x= arc sin 0 -         x+     x  -          x  +…+          x  + o(x  )                       1!        2!         2!! 3!!           n!       于是它的展开式可表示为                  3     5                   2m-1            2!! x    4!!x            m-1   (2m-2)!! x      2m    arc sin x=x-       +      -......+（-1）               +o(x  )            3!!      5!!                (2m-1)!! 注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6 6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：   (2m-1)      (2m)       m   2   2         2    m        2 f       (0)=0, f    (0)= (-1)   3  *5   ...(2m-3)  =(-1)   [(2m-3)!!] 于是它的展开式可表示为                                                                                                           (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc cos x=f(0)+         x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                      2                          2                                0    (2*1-1)!!  2    0  3        (2*n-1)!!   n     n  arc cos x= arc cos 0 +     x+        x  +     x   +…+           x   + o(x  )                       1!       2!         3!             n!                                      2                              2                   0      (2*1-1)!!  2   0  3  3!!3!!  4      (2*n-1)!   n     n  arc cos x= arc cos 0 +    x-         x  +     x -       x +…+          x  + o(x  )                      1!       2!         3!!     3!!4!!         n!       于是它的展开式可表示为                2           3      5                       2m             x        3!! x    5!!x             m  (2m-1)!! x       arc cos x=1-       +         -      -......+（-1）                     +o(x  )             2!!       4!!      6!!                 (2m)!! 注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6     7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为                                                2                        2            1             2sin x              1+2sin  x      Ⅳ          2+2sin  x          f`(x)=          , f``(x)=           , f``(x)=2*            ,   f  (x)=8sin x                   2               2                   4                        5                                             cos  x           cos  x              cos  x                    cos  x                                Ⅳ    故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f  (0)=0,    根据戴劳公式（120a）         3        x        4 tg x=x+      +o(x   )或        3            3       5       7                 2m-1        2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n tg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (-π/2<x<π/2)        3      5        7              2m-1        例如 tg π/4=1                             3                            0.785339 tg 0.785339=0.785339+           =1.0928                        3 例如 tg π/4=1                              3            5             7                               2*0.785339   4*0.785339    6*0.785339 tg 0.785339=0.785339+           -             +             =1.0928                        3            5             7   利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。 7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为                                                2                         2            1             2cos x              1+2cos  x      Ⅳ          2+2cos  x          f`(x)=-          , f``(x)=-           , f``(x)=-2*            ,   f  (x)=-8cos x                   2               2                   4                         5                                             sin  x           sin  x              sin  x                      sin  x                                                     Ⅳ    故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f   (π/2)=0,  根据戴劳公式(120a)               3        x        4 ctg x=x-      +o(x   )或        3            3       5       7                 2m-1        2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n ctg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (0<x<π)        3      5        7              2m-1        例如 ctg π/4=1                              3                             0.785339             3 ctg 0.785339=0.785339-          (0.78533-1.75)   =0.93027                         3 例如 ctg π/4=1                              3            5             7                               2*0.785339   4*0.785339    6*0.785339 ctg 0.785339=0.785339+           -             +             =1.0928                        3            5             7              sin x             3 8)写出函数e     的展开式至x   。根据1)  sinx           1     2       1     3        3 e    =1+sin x+      sin  x +       sin   x + o(sin   x  )                2             6   sinx           1     2       1     3        3 e    =1+sin x+      sin  x +       sin   x + o(x  )                2             6                  3                                            3        注:原来应写成o(sin  x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x  )是完全一样的。 但依2)         1     3     4  sin x=x-      x   + o(x  )         6  于是         sin x        1    3     1   2     1    3     3 e     =1+(x-      x   )+     x   +      x  + o(x  )               6          2         6         3 含x   的项互相消去，故最后得     sin x        1    2       3 e     =1+x+      x     + o(x  )               2 类似地     tg x         1   2      1   3     3 e     =1+x+      x   +     x   + o(x  )               2          2                                   6 9)写出函数ln cos x的展开式至x  的项。根据5)                                1         2   1         3           3  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o((cos x-1)  )                               2            2                                1         2   1         3     6  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o(x  )                               2            2                   2     注：因为1-cos x与x  同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，            3              6   故o((cos x-1)   )同时就是o(x  ) 在这时，由于3),             1   2      1   4    1   6      7 cos x-1=-      x   +     x  -      x   + o(x  )           2         24      720 由此            1    2    1   4     1   6    1    1   4    1   6    1    1   6    6 ln cos x-1=(-      x  +     x  -      x  )-     (    x  -      x  )+    (-    x  )=o(x )            2         24       720       2    4        24       3    8    或在化简后            1    2     1   4    1    6      6 ln cos x-1=-      x   -      x  -      x   + o(x  )            2          12       45 类似地              2     1   3    3    5     5 ln (x+   1+x  =x-     x  -      x   + o(x  )                  6       40        而     sin x      1    2     1    4      1    6      6 ln      =-      x   -       x  -        x   + o(x  )    x        6          180       2835 一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。 附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式                                                               可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 125.例题 若x   =0，戴劳公式看来是最简单的：  0 注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。                                                       (n)            f`(x   )     f``(x  )        f```(x  )        f   (x  )                           0          0    2         0    3         0     n     n f(x)=f(x  )+         x+         x  +           x  +…+        (x-x  ) +o(x  )   (11)         0      1!          2!           3!               n!     在取x-x   作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。        0 兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。 1)设      x f(x)=e    ;     (k)    x 则f   (x)=e      (k=1,2,3,...)                  (k)          因为在这时f(0)=1,f  （0）=1，故依公式（11）                   0             0  2           0    (n)      x  0      e  x          e  x           e   x         n e  =e   +          +             +…+            + o(x   )                       1!           2!              n!                                       2              (n)      x         x              x              x         n e  =1+              +             +…+          + o(x   )                      1!             2!             n!     2)若f(x)=sin x，则    (k)           π f   (x)=sin(x+k*      )                2             (2m)             (2m-1)           π      m-1 ,于是f(0)=0,f     (0)=sin mπ=0, f     (0)=sin (mπ-     )=(-1)      (m=1,2,3...)                                               2 因此，在公式（11）内令n=2m，就有                2*1-1           2*2-1            2*3-1              2m-1         1-1   x         2-1   x          3-1   x            m-1   x         2m  sin x= (-1)           + (-1)             + (-1)            +…+(-1)            +o(x  )                (2*1-1)!          (2*2-1)!           (2*3-1)!            (2m-1)!                     3                2                    2m-1                x              x                m-1   x          2m sin x  =x-              +             -…+ (-1)               +o(x   )                     3!             5!                      (2m-1)!    3)类似的，在f(x)=cos x时： (k)           π f   (x)=cos(x+k*      )                2             (2m)        m     (2m-1)           ,     f(0)=1,f     (0)=（-1）  , f     (0)=0    (m=1,2,3...)                                             这样（若取n=2m+1),                2*1-1           2*2             2*3                2m           1   x          2   x            3   x              m   x        2m+1  cosx=1+ (-1)           + (-1)             + (-1)            +…+(-1)          +o(x    )                 (2*1)!           (2*2)!            (2*3)!              (2m)!                       2                4                   2m                x              x                m    x         2m+1 cos x  =1-              +             -…+ (-1)             +o(x   )      (13)                2!             4!                   (2m)!                      m 4)今考察幂函数x   , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x  =0.                              m                                             0 取x  =1，即依(x-1)的幂而展开x   . 0 如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成                           m 为依x的幂而展开函数（1+x）  了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.  (k)                     m-k            f  (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)            (k)        因此f(0)=1,f  (0)=m(m-1)...(m-k+1) 展开式的形式就是     m         m(m-1)    2     m(m-1)...(m-n+1)   n     n (1+x)  =1+mx+           x  +…+                x    +o(x   )                  1*2                1*2...n 特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有   1         2     2        =1-x+x  +o(x  )  1+x            1       1   2     2 1+x=1+       x-      x  +o(x  )          2       8   1        1       3    2     2   =1+       x-      x  +o(x  ) 1+x      2       8                                                                3                                                               x 在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即                                                              1+x 至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出 5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数. f(x)=ln(1+x) 并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)                        k-1   (k)    (-1)   (k-1)!         f   (x)=                k           (1+x)            (k)     k-1  f(0)=0, f  (0)=(-1)  (k-1)! 注;记号0！我们永远理解为1 由此                  2     3                n                x      x         n-1    x           n     ln(1+x)   =x-        +      -......+ (-1)            +o(x  )                2      3               n   6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：  (2m)       (2m-1)    m-1 f(x)    (0)=0, f(x)    (0)=(-1)   (2m-2)! 根据戴劳公式（11），可得                                                         (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc tg x=f(0)+           x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                                                                                       1-1  (2*1-2)!   0   2    2-1  (2*2-2)!  3      n-1 (2*n-1)! n    n  arc tg x= arc tg 0 + (-1)          x+    x  +(-1)           x  +…+(-1)         x + o(x  )                           1!       2!            3!                n!       于是它的展开式可表示为                  3     5                 2m-1                x      x          m-1   x         2m    arc tg x=x-          +      -......+ (-1)            +o(x  )                3      5              2m-1 6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：  (2m)                          (2m-1)    m-1 f(x)    (0)=0, （当2m为偶数时）f(x)    (0)=(-1)   (2m-2)!, （当2m-1为奇数时） 根据戴劳公式（11），可得                                                         (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc ctg x=f(0)+          x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                       1  (2*1-2)!    0   2    2  (2*2-2)!   3      m-1  (2*m-1)!  n  n  arc ctg x= arcctg 0 + (-1)         x+    x  +(-1)           x  +…+(-1)           x + o(x )                           1!       2!            3!                   n!       于是它的展开式可表示为                  3     5              2m-1                x      x          m   x         2m    arcc tg x=-x+         -      -......+ (-1)          +o(x  )                3      5              2m-1   6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：   (2m)      (2m-1)       m-1      2   2        2   m-1        2 f     (0)=0, f       (0)=(-1)    1  *3   ...(2m-1)  =(-1)    [(2m-1)!!] 于是它的展开式可表示为                                                                                                           (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc sin x=f(0)+         x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                  2                       2              2                     1-1  (2*1-1)!!   0   2    2-1  (2*2-1)!!  3     (2*n-1)!!   n    n  arc sin x= arc sin 0 + (-1)          x+    x  +(-1)           x  +…+          x  + o(x  )                            1!       2!              3!             n!                                                                    2                  (2*1-1)!!     0   2    2!!* 2!!   3      (2*n-1)!   n    n  arc sin x= arc sin 0 -         x+     x  -          x  +…+          x  + o(x  )                       1!        2!         2!! 3!!           n!       于是它的展开式可表示为                  3     5                   2m-1            2!! x    4!!x            m-1   (2m-2)!! x      2m    arc sin x=x-       +      -......+（-1）               +o(x  )            3!!      5!!                (2m-1)!! 注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6 6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：   (2m-1)      (2m)       m   2   2         2    m        2 f       (0)=0, f    (0)= (-1)   3  *5   ...(2m-3)  =(-1)   [(2m-3)!!] 于是它的展开式可表示为                                                                                                           (n)                         f`(0)         f``(0)   2    f```(0)     3      f   (0)     n     n arc cos x=f(0)+         x+         x  +           x  +…+           x   +o(x  )                   1!          2!           3!               n!                                      2                          2                                0    (2*1-1)!!  2    0  3        (2*n-1)!!   n     n  arc cos x= arc cos 0 +     x+        x  +     x   +…+           x   + o(x  )                       1!       2!         3!             n!                                      2                              2                   0      (2*1-1)!!  2   0  3  3!!3!!  4      (2*n-1)!   n     n  arc cos x= arc cos 0 +    x-         x  +     x -       x +…+          x  + o(x  )                      1!       2!         3!!     3!!4!!         n!       于是它的展开式可表示为                2           3      5                       2m             x        3!! x    5!!x             m  (2m-1)!! x       arc cos x=1-       +         -      -......+（-1）                     +o(x  )             2!!       4!!      6!!                 (2m)!! 注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6     7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为                                                2                        2            1             2sin x              1+2sin  x      Ⅳ          2+2sin  x          f`(x)=          , f``(x)=           , f``(x)=2*            ,   f  (x)=8sin x                   2               2                   4                        5                                             cos  x           cos  x              cos  x                    cos  x                                Ⅳ    故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f  (0)=0,    根据戴劳公式（120a）         3        x        4 tg x=x+      +o(x   )或        3            3       5       7                 2m-1        2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n tg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (-π/2<x<π/2)        3      5        7              2m-1        例如 tg π/4=1                             3                            0.785339 tg 0.785339=0.785339+           =1.0928                        3 例如 tg π/4=1                              3            5             7                               2*0.785339   4*0.785339    6*0.785339 tg 0.785339=0.785339+           -             +             =1.0928                        3            5             7   利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。 7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为                                                2                         2            1             2cos x              1+2cos  x      Ⅳ          2+2cos  x          f`(x)=-          , f``(x)=-           , f``(x)=-2*            ,   f  (x)=-8cos x                   2               2                   4                         5                                             sin  x           sin  x              sin  x                      sin  x                                                     Ⅳ    故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f   (π/2)=0,  根据戴劳公式(120a)               3        x        4 ctg x=x-      +o(x   )或        3            3       5       7                 2m-1        2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n ctg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (0<x<π)        3      5        7              2m-1        例如 ctg π/4=1                              3                             0.785339             3 ctg 0.785339=0.785339-          (0.78533-1.75)   =0.93027                         3 例如 ctg π/4=1                              3            5             7                               2*0.785339   4*0.785339    6*0.785339 ctg 0.785339=0.785339+           -             +             =1.0928                        3            5             7              sin x             3 8)写出函数e     的展开式至x   。根据1)  sinx           1     2       1     3        3 e    =1+sin x+      sin  x +       sin   x + o(sin   x  )                2             6   sinx           1     2       1     3        3 e    =1+sin x+      sin  x +       sin   x + o(x  )                2             6                  3                                            3        注:原来应写成o(sin  x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x  )是完全一样的。 但依2)         1     3     4  sin x=x-      x   + o(x  )         6  于是         sin x        1    3     1   2     1    3     3 e     =1+(x-      x   )+     x   +      x  + o(x  )               6          2         6         3 含x   的项互相消去，故最后得     sin x        1    2       3 e     =1+x+      x     + o(x  )               2 类似地     tg x         1   2      1   3     3 e     =1+x+      x   +     x   + o(x  )               2          2                                   6 9)写出函数ln cos x的展开式至x  的项。根据5)                                1         2   1         3           3  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o((cos x-1)  )                               2            2                                1         2   1         3     6  ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)-     (cos x-1) +     (cos x-1)  + o(x  )                               2            2                   2     注：因为1-cos x与x  同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，            3              6   故o((cos x-1)   )同时就是o(x  ) 在这时，由于3),             1   2      1   4    1   6      7 cos x-1=-      x   +     x  -      x   + o(x  )           2         24      720 由此            1    2    1   4     1   6    1    1   4    1   6    1    1   6    6 ln cos x-1=(-      x  +     x  -      x  )-     (    x  -      x  )+    (-    x  )=o(x )            2         24       720       2    4        24       3    8    或在化简后            1    2     1   4    1    6      6 ln cos x-1=-      x   -      x  -      x   + o(x  )            2          12       45 类似地              2     1   3    3    5     5 ln (x+   1+x  =x-     x  -      x   + o(x  )                  6       40        而     sin x      1    2     1    4      1    6      6 ln      =-      x   -       x  -        x   + o(x  )    x        6          180       2835 一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。 附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。   推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译   3-21.反三角函数的导数                               2 1.设y=arcsinx,则y`=1/    1-x                                               2  (arcsinx)`=1/    1-x        3.30    证明：函数y=arcsinx是多值函数， 但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即                    -π/2 ≤arcsinx≤ π/2 则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y`    =1/x`                                                   x       y 故   y`    =1/cosy        x                但,                    2              2            cosy=     1-sin   y    =    1-x          于是得                       2             y` =1/    1-x      或者                       2            d(arc sinx)=1/     1-x    这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式： -π/2 ≤y≤ π/2 而这就是说，cosy是正的量       例1.设y=xarcsinx,试求y`   我们有                    2        y`=arcsinx+x/     1-x                            例2.设y=arcsin√x,试求y` 设把√x看作u，则有            1                  1              1       y`=              (√x)`=              =                 2                                 2        1-(√x)           2    1-x√x     2    x-x   2.设y=arccos,则          -1                   y`=                         2                                 1-x            即                -1                   (arccosx)`=               3.31                  2                                        1-x            证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即 0≤arccosx≤π 则在此条件下，我们便获得单值函数， 而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为 y=arccosx  (图3-22) 在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线， 因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以 y`   =1/x   x      y 然而又因为 x`    =-siny   y 故y`   =-1/siny`      x 但              2              2     siny=    1-cos   y  =     1-x   于是，得             -1            y`    =   x          2                1-x   或者   于是，得         d                  -1       (arccosx)=        dx                    2                1-x   这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π， 而这就是说,siny是正的能量。   3.设y=arctgx,则                  2         y`=(arctgx)`=1/(1+x    ) 证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数， 我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2 在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为 y=arctgx   (图3-23) 在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。 因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，     所以 y`    =1/x`   x       y                                          2    然而又因为x`    =1/cos   y                              y                          故          2                y`   =cos   y   x 但                2          2              cos   y=1/(1+tg    y)=1/(1+x     ) 于是，得          2             y`=1/(1+x    ) 或者                   2    d(arc tgx)/dx=1/(1+x    ) 这就是所要证明的   例1.设y=arctg(3x+x)，试求y`               2       2                  y`=3/[1+(3x+2)     ]=3/9x   +12x+5 例2.设y=ln(arctgx)，试求y` 设把arctgx看作u，则得                        2           y`=(arctgx)`/arctgx=1/(1+x     )arctgx 例3.设f(x)=arctg4x，试求f`(0) 我们有             2          f`(x)=4/(1+16x   ) 于是, f`(0)=4/(1+16*0)=4