斑点检测——LoG（Laplace of Gaussian）

原理

LoG对指定宽度斑点进行卷积时，参数中，取不同的σ响应幅值会不同，取响应幅值最大时候的σ用于检测该宽度的斑点。如下图（已经做了尺度归一化）。

一维形式如下：

二维形式如下：

σ取不同的值，在一副图片中检测到的斑点尺寸也不同

响应幅值最大的尺度也叫做“本征尺度”。

LoG就是高斯函数的拉普拉斯算子，对高斯函数求二阶微分算子。

拉普拉斯算子

高斯拉普拉斯

斑点

边缘点是像素的阶跃，而斑点是两个阶跃之间的区域。

以二值图像为例

尺度归一化

尺度归一化的原因

不同尺寸的斑点，用相同LoG卷积结果

如下图所示，当LoG函数的σ=1时，遇到-1到1宽度的阶跃区间时，响应幅值最大，说明σ=1时适合检测半径为1大小的斑点。

相同尺寸的斑点，用不同LoG卷积结果

对于想要检测的斑点，可以调整σ来寻找响应最大的尺度。

根据LoG的公式：

可知当σ越大，LoG越小，因此要检测大的斑点，不做尺度归一化，会导致响应幅值特别小以致于难以检测。

如下图所示，LoG的尺度σ越大，LoG算子的最大幅度逐渐减小，导致响应最终难以检测，因此需要做尺度归一化。

尺度归一化的LoG

对LoG算子变形，得到如下形式

两边同时乘以σ²，得到尺度归一化的LoG：

已知要检测斑点的半径，确定尺度σ

要使得响应幅值最大，则要将LoG的过零点和圆的直径对齐

           标准圆的方程：

代入尺度归一化的LoG，并求LoG在过零点位置的σ

得到：