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【小记】拉格朗日插值

时间:2023-08-22 22:13:13浏览次数:39  
标签:拉格朗 插值 LL ne ret int 小记

拉格朗日插值是知道\(n\)次多项式在\(n+1\)个点的点值,快速求出\(f(x')\)的算法

结论

拉格朗日插值本质上就是该式子,首先我们知道的点值为当\(x=x_i\)时\(f(x)=y_i\)

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

推导

首先假设我们考虑第\(i\)个点值。

那么我们先将另外\(n\)个点值,映射到\(x\)轴上。

即我们考虑构造函数\(g_i(x)\)当\(\forall j\ne i\)时\(g_i(x_j)=0\),且\(g_i(x_i)=y_i\)

那么显然的\(f(x)=\sum_{i=0}^{n}g_i(x)\)

并且可以发现

\[g_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

是满足条件的构造

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=998244353;
LL fpow(LL a,LL b){LL ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
	if(b&1)ret=ret*a%mod;
	return ret;
}
const int N=2e3+5;
LL X[N],Y[N];
int main(){
	LL n,k,ans=0,now;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		now=Y[i];
		for(int j=1;j<=n;j++)if(i^j)
		now=now*(k-X[j]+mod)%mod*fpow(X[i]-X[j]+mod,mod-2)%mod;
		ans=(ans+now)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

标签:拉格朗,插值,LL,ne,ret,int,小记
From: https://www.cnblogs.com/dzrblog/p/17649822.html

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