ARC146C

若 \(S\) 合法，则首先这个条件显然等同于没有一个 \(S\) 的非空子集满足元素个数为偶数且元素异或和为 \(0\)。
对于一个满足条件的 \(S\)，我们能加入哪些非负数使得条件仍然满足呢？
设 \(T\) 是 \(S\) 的一个元素个数为奇数的子集，令 \(x\) 为 \(T\) 中元素异或和。那么显然，\(x\) 是不能被加入 \(S\) 中的。
然后接下来是最关键的性质，对于一个合法的 \(S\)，如果 \(T,U\) 均是 \(S\) 的一个元素个数为奇数的子集，且 \(T,U\) 不同，那么 \(T,U\) 中元素异或和也不同。
证明：若两者元素异或和相同，那么这样一个集合（由只存在于 \(T\) 中的元素和只存在于 \(U\) 中的元素组成的集合）必然满足元素个数为偶数且异或和为 \(0\)。而这个集合显然是 \(S\) 的非空子集，这与 \(S\) 合法矛盾。
因此，对于所有合法的 \(S\)，能加进 \(S\) 且依然合法的非负元素数量为 \(2^N-\) \(S\) 的元素个数为奇数的非空子集的数量。
于是可以 DP 了。
设 \(f_i\) 表示元素数量为 \(i\) 的合法 \(S\) 数量。
初值为 \(f_0=1,f_1=2^N\)。
转移为 \(f_i=\frac{f_{i-1}\ \ \ \times\ \ \ (2^N\ -\ 2^{i\ -\ 2}\ \ \ )}{i}(i\ge2)\)。
除以 \(i\) 是因为集合是无序的。
而且通过上述转移，可以发现不存在元素个数超过 \(N+1\) 的合法的集合。
时间复杂度为 \(\mathcal O(N)\) 或 \(\mathcal O(N\log N)\)，取决是否预处理逆元。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
const int N = 100005, mod = 998244353;
int n;
int ans;

int qpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

int inv(int x) { return qpow(x, mod - 2); }

signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	ans = 1; ll now = qpow(2, n);
	ans = (ans + now) % mod;
	for (int i = 2; i <= n + 1; ++i) {
		now = now * (qpow(2, n) - qpow(2, i - 2) + mod) % mod * inv(i) % mod;
		ans = (ans + now) % mod;
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}