前言
最近在看《Redis 设计与实现》这本书，书中简单描述了跳表的性质和数据结构，但对它的具体实现没有多讲。
书里对跳表结构的描述是这样的：
跳跃表节点：
typedef struct zskiplistNode{
// 后退指针
struct zskiplistNode *backward;
// 分值
double score;
// 成员对象
robj *obj;
// 层
struct zskiplistLevel{
// 前进指针
struct zskiplistNode *forward;
// 跨度
unsigned int span;
} level[];
} zskiplistNode;
跳跃表结构
typedef struct zskiplist{
// 表头节点和表尾节点
struct zskiplistNode *header, *tail;
// 表中节点数量
unsigned long length;
// 表中层数最大的节点的层数
int level;
} zskiplist;
虽然大概懂了跳表是一种怎么样的存在，它有媲美平衡树的效率，但比平衡树更加容易实现，但这本书并没有详细描述跳表的实现，其中一些关键点也没有说明，比如：
为什么表头节点是不被计算在 length 属性里？新增节点时是如何决定 level 的指针指向哪个后继节点？为什么 zset 分值可以相同而成员对象不能相同？
等等。
为了解答这些问题，我决定完全弄懂跳表的原理，自己实现一个基础的跳表。
跳表的原理
有序单链表和二分查找法
顾名思义，有序单链表就是节点的排列是有顺序的链表。
如果我们想从中找到一个节点，比如15，除了从头节点开始遍历，是否有其他方式？
经典的查找算法中，有专门针对一个有序的数据集合的算法，即“二分算法”，以 O(logN) 的时间复杂度进行查找。它通过对比目标数据和中间数据的大小，在每轮查找中直接淘汰一半的数据：
- 中间节点数字为 10（10或8都可以作为中间节点），比目标15小，所以排除 10 之前的 4 个数据，在 10 - 21 中查找。
- 中间节点为 18 ，比目标 15 大，排除 18 及之后的 2 条数据，在 10 - 15 中查找。
- 中间节点为 15 ，与目标一致，查找结束。
设想在链表中，我们参考二分算法的思想，为“中间节点”加索引，就能像二分算法一样进行链表数据的查找了。
OK，现在我们将每一个中间节点抽了出来，组成了另一条链表，即一级索引，一级索引的每个节点都指向原单链表对应的节点，这样可以通过二分算法来快速查找有序单链表中的节点了。
如果原链表节点数量太多将会导致一级索引的节点数量也很多，这时需要继续向上建立索引，选取一级索引的中间节点建立二级索引。
这就是跳表的本质：是对有序链表的改造，为单链表加多层索引，以空间换时间的策略，解决了单链表中查询速度的问题，同时也能快速实现范围查询。
链表节点数少时提升的效果有限，但当链表长度达到 1000 甚至 10000 时，从中查找一个数的效率会得到极大的提升。
跳表索引的更新
二叉树和跳表的退化
前言中提到，跳表具有媲美平衡树的效率，平衡树之所以称之为平衡树，是为了解决普通树结构在极端情况下容易退化成一个单链表的问题，每次插入或删除节点时，会维持树的平衡性。
下面这种二叉树具有 O(log n) 的查找时间复杂度，但在极端情况下容易发生退化，比如删除了 4，5，6 三个节点后，会退化为单链表，查询时间复杂度退化为 O(n).
退化后的二叉树：
如果跳表在插入新节点后索引就不再更新，在极端情况下，它可能发生退化，比如下面这种情况：
10 到 100 之间插入 n 多个节点，查询这其中的数据时，查询时间复杂度将退化到接近 O(n)。既然跳表被称之为媲美平衡树的数据结构，也必然会维护索引以保证不退化。
跳表索引的维护
通过晋升机制。
既然现在跳表每两个原始链表节点中有一个被建立了一级索引，而每两个一级索引中有一个被建立了二级索引，n 个节点中有 n/2 个索引，可以理解为：在同一级中，每个节点晋升到上一级索引的概率为 1/2。
如果不严格按照“每两个节点中有一个晋升”，而是“每个节点有 1/2 的概率晋升”，当节点数量少时，可能会有部分索引聚集，但当节点数量足够大时，建立的索引也就足够分散，就越接近“严格的每两个节点中有一个晋升”的效果。
当然，晋升的概率可以根据需求进行调整，1/3 或 1/4，晋升概率稍小时，空间复杂度小，但查询效率会降低。在下文中，我们将晋升率设置为 p。
时间复杂度与空间复杂度
时间复杂度
结论：跳表的时间复杂度为 O(log n)
证明：
按二分法进化出的跳表，无论是原链表还是 N 级索引，都是每两个节点中有一个被用作上一级索引。这个过程我们称之为“晋升”，晋升的概率为 p
假设原链表节点数量为 n，一级索引节点数为 n*p^1，二级索引节点数为 n*p^2，以此类推，h 级索引的节点数应为 n*(p^h)。
最高层的期望节点数应为 1/p，我的理解是：小于等于这个期望数，再高一层索引的期望节点数将为 1，没有意义了。
根据上述推算，易得一个跳表的期望索引高度 h 为：
加上底层的原始链表，跳表的期望总高度 H 为：
查找索引时，我们运用倒推的思维，从原始链表上的目标节点推到顶层索引的起始节点，示意图如下：
当我们在底层节点时，只有两种路径可走，向上或向左，向上的概率为 p，向左的概率为 1-p。
假设 C(i) 为一个无限长度的跳表中向上爬 i 层的期望代价（即经过的节点数量）
爬到第 0 层时，无需经过任何节点，所以有：
爬到第 1 层时，可能有两种情况：从有 p 的概率是从第 0 层直接爬升 1 个节点，这种情况经过的节点数为：
有 1-p 的概率是从第 1 层向左移动一个节点，则经过的节点数为:
则有:
解得：C(i) = i/p
当爬到期望中的最高层——第 h 层时，则期望步数为 h/p，在第 h 层，继续向左走的期望步数不会超过当前层节点的期望总和 1/p，向上走的期望步数也不会超过当前层节点的期望总和 1/p，全部加起来，从最底层的目标节点到最顶层的头节点，期望步数为 h/p + 2/p，将上面 h 的公式带入，忽略常量，时间复杂度为 O(log n)
空间复杂度
空间复杂度基本上就是等比数列之和的计算，比值为 p。
直接说结果为 O(n)
跳表的实现
为了更好地理解跳表，自己参考着跳表的原理，尝试手撸一条跳表，当然这是最基础的，没有 redis 跳表那样丰富的能力，粗略实现了对数字的增删改查，以插入的数字作为排序的基准，不支持重复数字的插入。
redis 跳表在经典跳表之上有额外的实现：
- 经典跳表不支持重复值，redis 跳表支持重复的分值score
- redis 跳表的排序是根据 score 和 成员对象 两者共同决定的
- redis 跳表的原链表是个双向链表
在这之前需要说明，索引的节点其实并不是像底层链表一样的节点 Node，而是一种 Level 层结构，每个层中都包含了 Node 的指针，指向下一个节点。
基础数据结构
const MaxLevel = 32
const p = 0.5
type Node struct {
value uint32
levels []*Level // 索引节点,index=0是基础链表
}
type Level struct {
next *Node
}
type SkipList struct {
header *Node // 表头节点
length uint32 // 原始链表的长度，表头节点不计入
height uint32 // 最高的节点的层数
}
func NewSkipList() *SkipList {
return &SkipList{
header: NewNode(MaxLevel, 0),
length: 0,
height: 1,
}
}
func NewNode(level, value uint32) *Node {
node := new(Node)
node.value = value
node.levels = make([]*Level, level)
for i := 0; i < len(node.levels); i++ {
node.levels[i] = new(Level)
}
return node
}
这里的 p 就是上面提到的节点晋升概率，MaxLevel 为跳表最高的层数，这两个数字可以根据需求设定，根据上面推出的跳表高度公式：
可以倒推出此跳表的容纳元素数量上限，n 为 2^32 个。
插入元素
重点在于如何确认插入的这个新节点需要几层索引？通过下面这个函数根据晋升概率随机生成这个新节点的层数。
func (sl *SkipList) randomLevel() int {
level := 1
r := rand.New(rand.NewSource(time.Now().UnixNano()))
for r.Float64() < p && level < MaxLevel {
level++
}
return level
}
可以看出，默认层数为 1，即无索引，通过随机一个 0 - 1 的数，如果小于晋升概率 p，且总层数不大于最大层数时，将 level+1
这样就有：
- 1/2 的概率 level 为 1
- 1/4 的概率 level 为 2
- 1/8 的概率 level 为 3
- ......
这里需要注意一下，上面我们说有 1/2 的概率有一层索引，即 level 为 2 的概率应该是 1/2 ，为什么这里是 1/4 呢？而位于第一层的原始链表存在的概率应该是 1，这里为什么 level =1 的概率为 1/2 呢？
原因在于，当 level 为 2 时，同时也表示存在第一层；当 level 为 3 时，同时也存在第一层和第二层；毕竟不能出现“空中阁楼”。所以：
- 新节点存在原链表节点的概率为 1/2+1/4+1/8+... = 1
- 新节点存在一层索引的概率为 1/4+1/8+1/16+... = 1/2
- 新节点存在二层索引的概率为 1/8+1/16+1/32+...= 1/4
插入元素的具体代码如下：
func (sl *SkipList) Add(value uint32) bool {
if value <= 0 {
return false
}
update := make([]*Node, MaxLevel)
// 每一次循环都是一次寻找有序单链表的插入过程
tmp := sl.header
for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {
// 每次循环不重置 tmp，直接从上一层确认的节点开始向下一层查找
for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value < value {
tmp = tmp.levels[i].next
}
// 避免插入相同的元素
if tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value == value {
return false
}
update[i] = tmp
}
level := sl.randomLevel()
node := NewNode(uint32(level), value)
// fmt.Printf("level:%v,value:%v\n", level, value)
if uint32(level) > sl.height {
sl.height = uint32(level)
}
for i := 0; i < level; i++ {
// 说明新节点层数超过了跳表当前的最高层数，此时将头节点对应层数的后继节点设置为新节点
if update[i] == nil {
sl.header.levels[i].next = node
continue
}
// 普通的插入链表操作，修改新节点的后继节点为前一个节点的后继节点，修改前一个节点的后继节点为新节点
node.levels[i].next = update[i].levels[i].next
update[i].levels[i].next = node
}
sl.length++
return true
}
数组 update 保存了每一层对应的插入位置。
- 从头节点的最高层开始查询，每次循环都可以理解为一次寻找有序单链表插入位置的过程。
- 找到在这层索引的插入位置，存入 update 数组中。
- 遍历完一层后，直接使用这一层查到的节点，即代码中的 tmp 开始遍历下一层索引。
- 重复1-3步直到结束。
- 获取新节点的层数，以确定从哪一层开始插入。如果层数大于跳表当前的最高层数，修改当前最高层数。
- 遍历 update 数组，但只遍历到新节点的最大层数。
- 增加跳表长度，返回 true 表示新增成功。
比如下面这张跳表，我要新增元素 9，最高高度为 5，当前最高高度为 3:
update 长度为 5
那么会从 3 层开始向下遍历，在二级索引这层找到 9 应该插入的位置——1 和 10 之间，update[2] 记录包含 1 的节点。
在一级索引这层找到 9 应该插入的位置——7 和 10 之间，update[1] 记录了包含 7 的节点。
在原链表这层找到 9 应该插入的位置——8 和 10 之间，update[0] 记录了包含 8 的节点。
假设新节点的 level 为 4，则修改当前最高高度为 4，然后开始逐层插入这个新节点，update[3] 为空，因为目前整个跳表的高度只有 3，所以需要将三级索引上的节点 9 插入到头节点后面，插入过程与普通的链表插入无异。示意图如下：
删除元素
func (sl *SkipList) Delete(value uint32) bool {
var node *Node
last := make([]*Node, sl.height)
tmp := sl.header
for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {
for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value < value {
tmp = tmp.levels[i].next
}
last[i] = tmp
// 拿到 value 对应的 node
if tmp.levels[i].next!=nil&&tmp.levels[i].next.value == value {
node = tmp.levels[i].next
}
}
// 没有找到 value 对应的 node
if node == nil {
return false
}
// 找到所有前置节点后需要删除node
for i := 0; i < len(node.levels); i++ {
last[i].levels[i].next = node.levels[i].next
node.levels[i].next = nil
}
// 重定向跳表高度
for i := 0; i < len(sl.header.levels); i++ {
if sl.header.levels[i].next == nil {
sl.height = uint32(i)
break
}
}
sl.length--
return true
}
与插入节点思路一致，从最上层开始向下遍历寻找，找到需要删除的节点的前置节点并记录在 last 数组中，然后修改前置节点指针的指向。
查找
解决了增删，剩下的查询就很简单了，可以查找对应 value 的 node ，也可以查找一个范围。
查找范围即先找到范围前边界的节点，再通过链表向后遍历即可。
这里我只实现了查找单个 node 的函数：
func (sl *SkipList) Find(value uint32) *Node {
var node *Node
tmp := sl.header
for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {
for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value <= value {
tmp = tmp.levels[i].next
}
if tmp.value == value {
node = tmp
break
}
}
return node
}
redis 的跳表实现
上述是一个标准跳表的原理和实现，redis 中的跳表还有所不同，它提供了更多的特性和能力：
- 经典跳表不支持重复值，redis 跳表支持重复的分值score。
- redis 跳表的排序是根据 score 和 成员对象 两者共同决定的。
- redis 跳表的原链表是个双向链表。
redis 中，跳表只在 zset 结构有使用。zset 结构在成员较少时使用压缩列表 ziplist 作为存储结构，成员达到一定数量后会改用 map + skiplist 作为存储结构。这里只讨论使用 skiplist 的实现。
zset 结构要求，分值可以相同，但保存的成员对象不能相同。zset 对跳表排序的依据是“分值和成员对象”两个维度，分值可以相同，但成员对象不能一样。分值相同时，按成员对象首字母在字典的顺序确定先后。
zset 还维护了一个 map，保存成员对象与分值的映射关系，被用来通过成员对象快速查找分值，定位对应的节点，在 ZRANK、ZREVRANK、ZSCORE 等命令中均有使用。另外，这个 map 还用于插入节点时，判断是否存在重复的成员对象。
int zsetAdd(robj *zobj, double score, sds ele, int in_flags, int *out_flags, double *newscore) {
// ...
/* Update the sorted set according to its encoding. */
if (zobj->encoding == OBJ_ENCODING_ZIPLIST) {
// ...
} else if (zobj->encoding == OBJ_ENCODING_SKIPLIST) {
zset *zs = zobj->ptr;
zskiplistNode *znode;
dictEntry *de;
de = dictFind(zs->dict,ele);
if (de != NULL) {
// 已经存在
// ...
} else if (!xx) {
// 不存在，插入
ele = sdsdup(ele);
znode = zslInsert(zs->zsl,score,ele);
serverAssert(dictAdd(zs->dict,ele,&znode->score) == DICT_OK);
*out_flags |= ZADD_OUT_ADDED;
if (newscore) *newscore = score;
return 1;
} else {
*out_flags |= ZADD_OUT_NOP;
return 1;
}
}
}
回顾问题
前面提到，在看《Redis 设计与实现》这本书时我有几点疑问，在详细了解跳表之后现在就可以解答了。
为什么表头节点是不被计算在 length 属性里？
因为表头节点是初始化跳表时提供的空节点，不保存任何节点，只用于提供各级索引的入口。
新增节点时是如何决定 level 的指针指向哪个后继节点？
通过分值和成员对象共同决定 ，判断新节点的插入位置和顺序。分值相同时，按成员对象首字母在字典的顺序确定先后。
经典跳表也同样需要一个维度来确定插入的顺序，我的跳表实现中直接使用了新节点的值作为排序的维度。
为什么 zset 分值可以相同而成员对象不能相同？
如果都相同，就无法确定插入的位置和顺序。
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