P3243 [HNOI2015] 菜肴制作
题目描述
知名美食家小 A 被邀请至 ATM 大酒店，为其品评菜肴。ATM 酒店为小 A 准备了 \(n\) 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予 \(1\) 到 \(n\) 的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为 \(1\)。
由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 \(m\) 条形如 \(i\) 号菜肴必须先于 \(j\) 号菜肴制作的限制，我们将这样的限制简写为 \((i,j)\)。
现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A 能尽量先吃到质量高的菜肴：
也就是说，
-
在满足所有限制的前提下，\(1\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号菜肴尽量优先制作的前提下，\(2\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号和 \(2\) 号菜肴尽量优先的前提下，\(3\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号和 \(2\) 号和 \(3\) 号菜肴尽量优先的前提下，\(4\) 号菜肴尽量优先制作。
-
以此类推。
例 1：共 \(4\) 道菜肴，两条限制 \((3,1)\)、\((4,1)\)，那么制作顺序是 \(3,4,1,2\)。
例 2：共 \(5\) 道菜肴，两条限制 \((5,2)\)、\((4,3)\)，那么制作顺序是 \(1,5,2,4,3\)。
例 1 里，首先考虑 \(1\)，因为有限制 \((3,1)\) 和 \((4,1)\)，所以只有制作完 \(3\) 和 \(4\) 后才能制作 \(1\)，而根据 3，\(3\) 号又应尽量比 \(4\) 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 \(3,4,1\)；接下来考虑 \(2\)，确定最终的制作顺序是 \(3,4,1,2\)。
例 \(2\) 里，首先制作 \(1\) 是不违背限制的；接下来考虑 \(2\) 时有 \((5,2)\) 的限制，所以接下来先制作 \(5\) 再制作 \(2\)；接下来考虑 \(3\) 时有 \((4,3)\) 的限制，所以接下来先制作 \(4\) 再制作 \(3\)，从而最终的顺序是 \(1,5,2,4,3\)。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出 Impossible!（首字母大写，其余字母小写）
输入格式
第一行是一个正整数 \(t\)，表示数据组数。接下来是 \(t\) 组数据。对于每组数据：第一行两个用空格分开的正整数 \(n\) 和 \(m\)，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。接下来 \(m\) 行，每行两个正整数 \(x,y\)，表示 \(x\) 号菜肴必须先于 \(y\) 号菜肴制作的限制。
输出格式
输出文件仅包含 \(t\) 行，每行 \(n\) 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者 Impossible! 表示无解。
样例 #1
样例输入 #1
3
5 4
5 4
5 3
4 2
3 2
3 3
1 2
2 3
3 1
5 2
5 2
4 3
样例输出 #1
1 5 3 4 2
Impossible!
1 5 2 4 3
提示
【样例解释】
第二组数据同时要求菜肴 \(1\) 先于菜肴 \(2\) 制作，菜肴 \(2\) 先于菜肴 \(3\) 制作，菜肴 \(3\) 先于菜肴 \(1\) 制作，而这是无论如何也不可能满足的，从而导致无解。
【数据范围】
\(100\%\) 的数据满足 \(n,m\le 10^5\)，\(1\le t\le 3\)。
\(m\) 条限制中可能存在完全相同的限制。
思路
由题可知，简单的拓扑序列并不能满足题目的要求 - 号小的菜肴优先制作
判环就不说了，最后的拓扑序列长度不够 n 就是有环。
那么我们想要得到题目的要求的序列，从前往后的思路就是让每一个菜肴的前置条件均满足后再放置当前菜肴，而且这样的放置需要时刻满足号小的菜肴尽量优先制作这一要求。那么其实这样的放置就是在反图上跑 topo，而且要找的是字典序最大的 topo 序列（可以利用最大堆来辅助操作）。
所以我们可以建立反图，利用最大堆跑 topo，最后倒序输出 topo 序列即可
代码
//>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << '\n'
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << '\n'
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<ull, ull> pull;
typedef pair<double, double> pdd;
/*
深刻理解题意后，解法就是反向建图，topo 找字典序最大的拓扑序列
*/
const int maxm = 1e5 + 5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
void solve(){
int n, m;
cin >> n >> m;
bool f = true;
vector<int> e[n + 1];
vector<int> ans, in(n + 1, 0);
for(int i = 0; i < m; ++ i){
int x, y;
cin >> x >> y;
if(find(e[y].begin(), e[y].end(), x) == e[y].end()){
e[y].push_back(x);
++ in[x];
}
}
priority_queue<int> q;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
if(in[i] == 0) q.push(i);
}
while(q.size()){
int u = q.top(); q.pop();
ans.push_back(u);
for(auto v : e[u]){
-- in[v];
if(in[v] == 0) q.push(v);
}
}
if(ans.size() == n) f = false;
if(f) cout << "Impossible!\n";
else for(int i = n - 1; i >= 0; -- i) cout << ans[i] << " \n"[i == 0];
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
int _ = 1;
cin >> _;
while(_ --){
solve();
}
return 0;
}