Codeforces Round 882 (Div. 2)
A. The Man who became a God
分成若干段后，分割处的差分会丢失，因此要使所求的各段的差分和最小，只需要让丢失的差分尽可能大。
求出序列差分，从大到小排序，去除前\(k - 1\)个即可。
B. Hamon Odyssey
首先一个数不断按位与其他数，结果是不增的，因此整个序列作为一组时按位与的结果一定为最小。
首先求出 \(s = a_1 \& a_2 \& ... \& a_n\)， 此时有两种情况：
若\(s > 0\) ：无论如何细分按位与的和一定大于s，因此答案为1
若\(s = 0\) ：划分成的每一组的按位与一定也为0，因此从第一个位置贪心地往后划分，直到和为0，组数+1，然后从下一位置继续。对于结尾一段，若不为0则将其并入前面的一段，否则单独为一段。
C. Vampiric Powers, anyone?
若先取下标\(i = x\), 记$A = a_x \oplus a_{x + 1} \oplus ... \oplus a_m $
再取下标\(i = y, (y > x)\), 将其记为\(B\), 则\(B = a_y \oplus a_{y + 1} \oplus ... \oplus a_m \oplus a = a_y \oplus a_{y + 1} \oplus ... \oplus a_m \oplus a_x \oplus a_{x + 1} \oplus ... \oplus a_m = a_x \oplus ... \oplus a_y\)
当\(y < x\)时同理，可以发现经过两次操作我们可以取到原序列中任意一段子序列的异或和，则问题转换为求a的子序列异或和的最大值。
使用01-Trie可以解决
代码
const int N = 100005;
struct node {
int next[2];
int number;
};
node tr[N * 8];
int cnt = 0;
void insert(int x, int numb) {
int p = 0;
for(int i = 7; i >= 0; i--) {
int now = (((1 << i) & x) == 0 ? 0 : 1);
if(!tr[p].next[now]) {
tr[p].next[now] = ++cnt;
}
p = tr[p].next[now];
}
tr[p].number = numb;
}
int sear(int x) {
int p = 0;
for(int i = 7; i >= 0; i--) {
int now = ((1 << i) & x) == 0 ? 0 : 1;
if(!tr[p].next[now ^ 1]) p = tr[p].next[now];
else p = tr[p].next[now ^ 1];
}
return tr[p].number;
}
int main() {
// freopen("data.in", "r", stdin);
int T; cin >> T;
while(T--) {
cnt = 0;
int n, a[N]; cin >> n;
a[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
a[i] = a[i] ^ a[i - 1];
insert(a[i], i);
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int numb = sear(a[i]);
ans = max(ans, a[i] ^ a[numb]);
ans = max(ans, a[i]);
}
cout << ans << endl;
for(int i = 0; i <= cnt; i++) {
tr[i].next[0] = tr[i].next[1] = tr[i].number = 0;
}
}
return 0;
}
D. Professor Higashikata
首先可以知道，s字符串中每个位置的字符可能在拼接后的t串中出现若干次，但为了求最大字典序，我们只关心其在t中第一次出现的位置。
首先将t串简化，只保留s中每个字符在t中第一次出现的位置，这个处理可以用set维护，或者用一个链表暴力处理。得到新字符串T
对于T中为0的位置，我们可以将其与后面的1交换，或者与原串s中未参与构成T的1交换。记k等于原串s中未参与构成T的1的数量，则问题转化为在T中找一个位置x，满足1到x中0的数量等于x + 1到n中1的数量加上k，答案即为1到x中0的数量。
可以用树状数组维护某一区间中1和0的数量，然后二分查找位置x，每次询问时可以在\(O(log^2n)\)复杂度内完成
代码
const int N = 200005;
int n, m, q, tot = 0;
char ss[N];
int nextt[N], a[N], cnt = 0;
bool vis[N];
int c[N], pos[N];
inline int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int k) {
for(; x < N; x += lowbit(x)) c[x] += k;
}
int sum(int x) {
int sum = 0;
for(; x; x -= lowbit(x)) sum += c[x];
return sum;
}
int getans() {
int l = 0, r = cnt;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
int lef0 = mid - sum(mid);
int righ1 = sum(cnt) - sum(mid);
if(lef0 >= righ1 + tot) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return l - sum(l);
}
int main() {
// freopen("data.in", "r", stdin);
cin >> n >> m >> q;
cin >> (ss + 1);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
nextt[i] = i + 1;
}
for(int i = 1, l, r; i <= m; i++) {
cin >> l >> r;
int now = l;
while(now <= r) {
if(!vis[now]) {
a[++cnt] = now;
pos[now] = cnt;
}
vis[now] = true;
int tmp = now;
if(now == n) break;
now = nextt[now];
if(tmp != r) nextt[tmp] = r;
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(!vis[i] && ss[i] == '1') tot++;
}
for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
if(ss[a[i]] == '1') {
add(i, 1);
}
}
for(int t = 1, opt; t <= q; t++) {
cin >> opt;
if(!vis[opt]) {
if(ss[opt] == '1') {
tot--; ss[opt] = '0';
} else {
tot++; ss[opt] = '1';
}
} else {
int delt = 0;
if(ss[opt] == '0') {
delt = 1;
ss[opt] = '1';
} else {
delt = -1;
ss[opt] = '0';
}
add(pos[opt], delt);
}
cout << getans() << endl;
}
return 0;
}
F. The Boss's Identity
将n以后的项逐一列出来找规律，将a序列看成循环的，可以发现：
第\(kn+i, (i < n)\)项是\(a_i | a_{i + 1}|...|a_{j}\)，其中，当\(i + k <= n\)时，\(j = i + k\)，当\(i + k >= n + 1\)时，\(j = i + k + 1\)
且第\(n^2\)项之后，所有元素一定为\(a_1|a_2|...|a_n\)
考虑i相同的所有项，相当于不断地按位或上一些数，设所有数的值域为\(V\)，每次或上一个数若产生了变化，则必有二进制上的一位从0变为了1，因此最多有\(O(logV)\)个不同的值。对于所有i，有\(O(nlogV)\)个不同的值。因此可以预处理出这些值然后二分查询。
预处理时枚举或区间的右端点，维护二进制每一位距离右端点最近的一个1的位置，然后将这一段的按位或的值记下来并算出对应a序列的坐标。
使用ST表可以\(O(1)\)查询一段区间的按位或。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 200005;
typedef long long lld;
int a[N << 1], n, q, maxx = 0;
int f[N << 1][23];
int las[32];
map<int, lld> mp;
vector<pair<int, lld> > poss;
inline int rmq(int l, int r) {
int k = log2(r - l + 1);
return f[l][k] | f[r - (1 << k) + 1][k];
}
lld getans(int x) {
int l = 0, r = poss.size() - 1;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(poss[mid].first > x) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return poss[l].second;
}
int main() {
// freopen("data.in", "r", stdin);
int T; scanf("%d", &T);
while(T--) {
maxx = 0;
mp.clear(); poss.clear();
scanf("%d%d", &n, &q);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
maxx = maxx | a[i];
if(!mp[a[i]]) mp[a[i]] = 1ll * i;
else mp[a[i]] = min(mp[a[i]], 1ll * i);
}
for(int i = n + 1; i <= (n << 1); i++) {
a[i] = a[i - n];
}
for(int j = 0; j <= 22; j++) {
for(int i = 1; i <= (n << 1); i++) {
if(j == 0) {
if(i > n) {
f[i][0] = a[i - n];
} else {
f[i][0] = a[i];
}
} else {
if(i + (1 << j) > (n << 1)) continue;
else f[i][j] = f[i][j - 1] | f[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
}
}
memset(las, 0, sizeof(las));
for(int i = 1; i <= (n << 1); i++) {
if(i == n + 1) continue;
for(int j = 0; j <= 30; j++) {
if((a[i] >> j) & 1) {
las[j] = i;
}
}
int tmp[32];
for(int t = 0; t <= 30; t++) {
tmp[t] = las[t];
}
sort(tmp, tmp + 31);
for(int j = 0; j <= 30; j++) {
if(tmp[j] != tmp[j + 1] && tmp[j] <= n && tmp[j]) {
lld k = (i > n) ? (i - tmp[j] - 1) : (i - tmp[j]);
int now = rmq(tmp[j], i);
if(mp[now] == 0) mp[now] = 1ll * tmp[j] + n * k;
else mp[now]= min(mp[now], 1ll * tmp[j] + n * k);
}
}
}
for(auto tmp : mp) {
poss.push_back(tmp);
}
sort(poss.begin(), poss.end());
for(int i = poss.size() - 2; i >= 0; i--) {
poss[i].second = min(poss[i].second, poss[i + 1].second);
}
for(int i = 1, x; i <= q; i++) {
scanf("%d", &x);
if(x >= maxx) cout << "-1" << endl;
else cout << getans(x) << endl;
}
for(int j = 0; j <= 22; j++) {
for(int i = 1; i <= (n << 1); i++) {
f[i][j] = 0;
}
}
}
return 0;
}