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Splay

时间：2023-07-01 10:33:43浏览次数：34  
标签：ch cur int tot Splay fa root

概念

Splay 树（伸展树），是一种平衡BST

它通过伸展操作不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足BST的性质，能够在均摊 \(O(\log n)\) 时间内完成插入，查找和删除操作，并且保持平衡而不至于退化为链。

实现

rotate

其保证

  • 不破坏BST的性质
  • 不破坏节点维护的信息
  • root必须指向旋转后的根节点

在Splay中旋转分为左旋和右旋

具体分析旋转过程（令需要旋转的节点为 \(x\) ，其父亲为 \(y\) ，以右旋为例）

  1. 将 \(y\) 的左儿子指向 \(x\) 的右儿子，且 \(x\) 的右儿子的父亲指向 \(y\)
  2. 将 \(x\) 的右儿子指向 \(y\) ，且 \(y\) 的父亲指向 \(x\)
  3. 将 \(y\) 的父亲 \(z\) 指向 \(y\) 的儿子的信息指向 \(x\) 并将 \(x\) 的父亲指向 \(z\)
inline void rotate(int x) {
	int y = fa[x], z = fa[y], d = dir(x);
	ch[y][d] = ch[x][d ^ 1];
	
	if (ch[x][d ^ 1])
		fa[ch[x][d ^ 1]] = y;
	
	ch[x][d ^ 1] = y;
	fa[y] = x, fa[x] = z;
	
	if (z)
		ch[z][y == ch[z][1]] = x;
		
	pushup(x), pushup(y);
}

splay

定义：每次访问一个节点后都多次使用 splay 操作强制旋转到根

splay操作步骤有三种，具体分为六种情况

  1. zig： \(y\) 是根节点。直接旋转即可

  2. zig-zig：\(x,y\) 都是其父亲的左儿子或右儿子。先把 \(y\) 旋上去，再把 \(x\) 旋上去

  1. zig-zag： \(x, y\) 不都是其父亲的左儿子或右儿子。把 \(x\) 旋上去两次即可

代码实现：

inline void splay(int x) {
	for (int f = fa[x]; f; rotate(x), f = fa[x])
		if (fa[f])
			rotate(dir(x) == dir(f) ? f : x);
	
	root = x;
}

合并

合并两棵splay树

设两棵树的根节点为 \(x, y\) ，令 \(x\) 中的最大值小于 \(y\) 中的最小值

将 \(x\) 树的最大值splay到根，将其右子树设为 \(y\) 即可

插入

设插入值为 \(k\)

  • 若树空，则直接插入根并退出
  • 若当前节点权值等于 \(k\) ，则增加当前节点大小并更新信息
  • 否则按照 BST 的性质向下找，找到空节点插入即可
inline void insert(int k) {
	if (!root) {
		val[++tot] = k;
		cnt[tot] = 1;
		root = tot;
		pushup(root);
		return ;
	}
	
	int cur = root, f = 0;
	
	for (;;) {
		if (val[cur] == k) {
			++cnt[cur];
			pushup(cur), pushup(f);
			splay(cur);
			break;
		}
		f = cur, cur = ch[cur][val[cur] < k];
		
		if (!cur) {
			val[++tot] = k;
			cnt[tot] = 1;
			fa[tot] = f;
			ch[f][val[f] < k] = tot;
			pushup(tot), pushup(f);
			splay(tot);
			break;
		}
	}
}

查询 \(x\) 的排名

与 BST 类似

inline int rnk(int k) {
	int res = 0, cur = root;
	
	for (;;) {
		if (k < val[cur])
			cur = ch[cur][0];
		else {
			res += siz[ch[cur][0]];
			
			if (k == val[cur]) {
				splay(cur);
				return res + 1;
			}
			
			res += cnt[cur], cur = ch[cur][1];
		}
	}
}

查询排名为 \(x\) 的数

与 BST 类似

inline int kth(int k) {
	int cur = root;
	
	for (;;) {
		if (ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]])
			cur = ch[cur][0];
		else {
			k -= siz[ch[cur][0]] + cnt[cur];
			
			if (k <= 0) {
				splay(cur);
				return val[cur];
			}
			
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}

查询前驱 / 后继

前驱定义为小于 \(x\) 的最大数，那么我们可以先插入 \(x\) ，前驱即为 \(x\) 左子树中最右节点，最后删除 \(x\) 即可

后继定义为大于 \(x\) 的最小数，查询方法类似前驱： \(x\) 的右子树中的最左节点

找根节点的前驱后继代码：

inline int near(int sign) {
	int cur = ch[root][sign];
	
	if (!cur)
		return cur;
	
	while (ch[cur][sign ^ 1])
		cur = ch[cur][sign ^ 1];
	
	splay(cur);
	return cur;
}

删除

首先将 \(x\) 旋转到根

  • 若有不止一个 \(x\) ，则直接将该点数量减 \(1\) 即可
  • 否则，合并左右子树即可
inline void remove(int k) {
	rnk(k);
	
	if (cnt[root] > 1)
		--cnt[root], pushup(root);
	else if (!ch[root][0] && !ch[root][1])
		clear(root), root = 0;
	else if (!ch[root][0]) {
		int cur = root;
		root = ch[root][1];
		fa[root] = 0;
		clear(cur);
	} else if (!ch[root][1]) {
		int cur = root;
		root = ch[root][0];
		fa[root] = 0;
		clear(cur);
	} else {
		int cur = root, x = near(0);
		fa[ch[cur][1]] = x;
		ch[x][1] = ch[cur][1];
		clear(cur);
		pushup(root); 
	}
}

应用

P3369 【模板】普通平衡树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;

namespace Splay {
int ch[N][2];
int fa[N], siz[N], cnt[N];
int val[N];

int root, tot;

inline void pushup(int x) {
	siz[x] = siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]] + cnt[x];
}

inline int get(int x) {
	return x == ch[fa[x]][1];
}

inline void clear(int x) {
	ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = siz[x] = cnt[x] = 0;
}

inline void rotate(int x) {
	int y = fa[x], z = fa[y], d = get(x);
	ch[y][d] = ch[x][d ^ 1];
	
	if (ch[x][d ^ 1])
		fa[ch[x][d ^ 1]] = y;
	
	ch[x][d ^ 1] = y;
	fa[y] = x, fa[x] = z;
	
	if (z)
		ch[z][y == ch[z][1]] = x;
		
	pushup(x), pushup(y);
}

inline void splay(int x) {
	for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
		if (fa[f])
			rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
	
	root = x;
}

inline void insert(int k) {
	if (!root) {
		val[++tot] = k;
		cnt[tot] = 1;
		root = tot;
		pushup(root);
		return ;
	}
	
	int cur = root, f = 0;
	
	for (;;) {
		if (val[cur] == k) {
			++cnt[cur];
			pushup(cur), pushup(f);
			splay(cur);
			break;
		}
		f = cur, cur = ch[cur][val[cur] < k];
		
		if (!cur) {
			val[++tot] = k;
			cnt[tot] = 1;
			fa[tot] = f;
			ch[f][val[f] < k] = tot;
			pushup(tot), pushup(f);
			splay(tot);
			break;
		}
	}
}

inline int rnk(int k) {
	int res = 0, cur = root;
	
	for (;;) {
		if (k < val[cur])
			cur = ch[cur][0];
		else {
			res += siz[ch[cur][0]];
			
			if (k == val[cur]) {
				splay(cur);
				return res + 1;
			}
			
			res += cnt[cur], cur = ch[cur][1];			
		}
	}
}

inline int kth(int k) {
	int cur = root;
	
	for (;;) {
		if (ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]])
			cur = ch[cur][0];
		else {
			k -= siz[ch[cur][0]] + cnt[cur];
			
			if (k <= 0) {
				splay(cur);
				return val[cur];
			}
			
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}

inline int near(int sign) {
	int cur = ch[root][sign];
	
	if (!cur)
		return cur;
	
	while (ch[cur][sign ^ 1])
		cur = ch[cur][sign ^ 1];
	
	splay(cur);
	return cur;
}

inline void remove(int k) {
	rnk(k);
	
	if (cnt[root] > 1)
		--cnt[root], pushup(root);
	else if (!ch[root][0] && !ch[root][1])
		clear(root), root = 0;
	else if (!ch[root][0]) {
		int cur = root;
		root = ch[root][1];
		fa[root] = 0;
		clear(cur);
	} else if (!ch[root][1]) {
		int cur = root;
		root = ch[root][0];
		fa[root] = 0;
		clear(cur);
	} else {
		int cur = root, x = near(0);
		fa[ch[cur][1]] = x;
		ch[x][1] = ch[cur][1];
		clear(cur);
		pushup(root); 
	}
}
}

int m;

signed main() {
	scanf("%d", &m);
	
	for (int op, x; m; --m) {
		scanf("%d%d", &op, &x);
		
		if (op == 1)
			Splay::insert(x);
		else if (op == 2)
			Splay::remove(x);
		else if (op == 3)
			printf("%d\n", Splay::rnk(x));
		else if (op == 4)
			printf("%d\n", Splay::kth(x));
		else if (op == 5) {
			Splay::insert(x);
			printf("%d\n", Splay::val[Splay::near(0)]);
			Splay::remove(x);
		}
		else {
			Splay::insert(x);
			printf("%d\n", Splay::val[Splay::near(1)]);
			Splay::remove(x);
		}
	}
	
	return 0;
}

扩展

区间翻转

P3391 【模板】文艺平衡树

我们以编号为下标建立一棵 Splay

当我们翻转区间 \([l, r]\) ，时，我们可以考虑利用 Splay 的性质，将 \(l - 1\) 翻转至根节点，再将 \(r + 1\) 翻转至其右儿子，这样 \(r + 1\) 的左儿子就是所有 \([l, r]\) 的数了

此时，我们对这个节点打上标记，有需要时再翻转即可

为了方便，我们在树的两端各插入 \(\pm \infty\) ，防止在翻转 \([1, n]\) 时出现问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 7;

namespace Splay {
int ch[N][2];
int fa[N], siz[N], val[N], tag[N];

int root, tot;

inline void pushup(int x) {
	siz[x] = siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]] + 1;
}

inline void pushdown(int x) {
	if (tag[x]) {
		tag[ch[x][0]] ^= 1;
		tag[ch[x][1]] ^= 1;
		swap(ch[x][0], ch[x][1]);
		tag[x] = 0;
	}
}

inline int get(int x) {
	return x == ch[fa[x]][1];
}

inline void rotate(int x) {
	int y = fa[x], z = fa[y], d = get(x);
	pushdown(y), pushdown(x);
	ch[y][d] = ch[x][d ^ 1];
	
	if (ch[x][d ^ 1])
		fa[ch[x][d ^ 1]] = y;
	
	ch[x][d ^ 1] = y;
	fa[y] = x, fa[x] = z;
	
	if (z)
		ch[z][y == ch[z][1]] = x;
	
	pushup(y), pushup(x);
}

inline void splay(int x, int goal = 0) {
	for (int  f = fa[x]; f != goal; rotate(x), f = fa[x])
		if (fa[f] != goal)
			rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
	
	if (!goal)
		root = x;
}

inline void insert(int k) {
	if (!root) {
		val[++tot] = k;
		root = tot;
		pushup(root);
		return;
	}
	
	for (int x = root, f = 0;;) {
		f = x, x = ch[x][val[x] < k];
		
		if (!x) {
			val[++tot] = k;
			fa[tot] = f, ch[f][val[f] < k] = tot;
			pushup(tot), pushup(f);
			splay(tot);
			break;
		}
	}
}

inline int find(int k) {
	for (int x = root;;) {
		pushdown(x);
		
		if (k <= siz[ch[x][0]])
			x = ch[x][0];
		else if (k == siz[ch[x][0]] + 1)
			return x;
		else
			k -= siz[ch[x][0]] + 1, x = ch[x][1];
	}
}

inline void reverse(int l, int r) {
	l = find(l - 1), r = find(r + 1);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	tag[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
}

inline void dfs(int x) {
	if (!x)
		return;
	
	pushdown(x);
	dfs(ch[x][0]);
	
	if (val[x] != -inf && val[x] != inf)
		printf("%d ", val[x]);
	
	dfs(ch[x][1]);
}
}

int n, m;

signed main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	Splay::insert(-inf), Splay::insert(inf);
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		Splay::insert(i);
	
	for (int l, r; m; --m) {
		scanf("%d%d", &l, &r);
		Splay::reverse(l + 1, r + 1);
	}
	
	Splay::dfs(Splay::root);
	return 0;
}

区间移动

将区间 \([l, r]\) 扔到 \(c\) 后面

首先，类似区间翻转，我们拿出区间 \([l, r]\) ，并将 \(c\) 旋转到根，将 \(c + 1\) 旋转至 \(c\) 的右儿子，接着把 \([l, r]\) 设为 \(c + 1\) 的左儿子即可

标签：ch,cur,int,tot,Splay,fa,root
From： https://www.cnblogs.com/wshcl/p/splay.html

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