复旦大学2022--2023学年第二学期高等代数II期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前十名的同学

李燊旭(94)、秦保睿(94)、张家溢(93)、肖竣严(93)、何乐为(92)、杨润禾(91)、王云萱(91)、范倚天(90)、周奕煊(90)、刘俊邑(88)

二、总评成绩计算方法

平时成绩根据交作业的次数决定。本学期数学学院原有学生提交作业14次，计10次100分，少1次扣10分；转专业学生提交在线作业29次，计25次100分，少一次扣4分。

总评成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70%

三、期末卷面成绩及人数

四、最终等第成绩及人数

五、试卷命题分析

本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对定理结论以及作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数II中所有重要的计算要点，这也是后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题和第八大题是压轴证明题。遵循高等代数II的教学目标，试卷的前六大题共计80分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后两道较难的证明题，让各层次的学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的卷面成绩说明本试卷难易度适中，设计合理，富有层次，具有较好的区分度。

六、学生成绩分析

从期末考试的卷面成绩来看，80分以上的同学占了48.9%；70分以上的同学占了79.5%；整个班级的平均分为74.4分。最终等第成绩也与期末卷面成绩保持一致，获得AB类的同学共占了90.9%。应该说数学学院本科22级同学（包括18名高年级转专业同学）在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。

七、教学效果分析

下面我们依次对最后两道大题进行分析。

@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17507653.html）

本题考察学生对 Jordan 标准型理论的应用，即若矩阵问题的条件和结论在同时相似变换下不改变，则可将其中一个矩阵化为 Jordan 标准型进行化简。一半以上的同学都对本题进行了尝试证明，不过绝大部分同学仅仅处在化简的部分，或者只证明了 $A$ 是非异阵的情形，而并没有达到最核心的部分，即 $A$ 是一个幂零 Jordan 块的情形。另外，在证明的过程中，出现了以下三类常见的错误。

（1）不能用 $A,B$ 同时上三角化来证明本题（有十来位同学这样做的）。一般来说，若上三角阵 $A$ 有 $k$ 个主对角元非零, 则只能得到 $r(A)\geq k$，但很难得到 $r(A)$ 的精确值（这对证明不等式十分重要）。大家可以参考阶梯型矩阵的定义（由梯型矩阵可以得到 $r(A)$ 的精确值）以及幂零 Jordan 块 $J_n(0)$（其主对角元全为零，但秩为 $n-1$）来进行思考。

（2）由 $r(A)=n-1$ 可推出 $A$ 的 Jordan 标准型中只有一个特征值 $0$ 的 Jordan 块, 但这并非是一阶零矩阵，有几个同学犯了这个致命的错误。

（3）有几个同学采用了对矩阵阶数的归纳法进行证明，在处理完非异阵的情形以及化到分块对角阵的情形之后，就直接由归纳假设结束证明了。然而他们漏掉了一种情况，就是这个分块对角阵其实是一个假分块，即 $A$ 自己就是一个幂零 Jordan 块，而这正是证明中最硬核的部分，无法由归纳假设得到。

本题得分在9分以上的同学共有4人：张家溢、李燊旭、肖竣严、何乐为。

@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17506596.html）

本题主要考察学生对实对称阵正交相似标准型理论的应用，即若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值都是实数, 则 $A$ 是实对称阵的充要条件是 $\mathbb{R}^n$ 是所有特征子空间的正交直和。本题是高代白皮书第四版例 9.131 的略微推广，但进入到证明核心部分的同学寥寥无几，尝试证明的同学也不多，大家主要纠结在 $A'A$ 的特征值或 $A$ 的奇异值的估计上面，没有找到正确的切入点。

本题得分在9分以上的同学共有4人：杨润禾、周奕煊、秦保睿、王云萱。

八、对22级同学的寄语与期待

本学期是我的高等代数课程荣获2020年首批国家级一流本科课程之后实施混合式教学的第五个学期。在周4学时的正课方面，高年级转专业学生进行线上学习；在周2学时的习题课方面，不仅要求所有学生利用周末提前学习高代习题课在线课程，而且在周一下午的线下习题课上，要求学生现场做题并上台讲解证明题。在正课和习题课上都实施混合式教学，经过本学期进一步的探索与实践，不仅增进了师生之间的交流与互动，而且激发了学生自主学习的动力，取得了良好的教学效果。

为了混合式教学的顺利开展，习题课老师肖贵云博士后每个周末都和我仔细商讨习题课的练习题设计（包括60%的计算题和40%的证明题）；刘伟博士后、研究生助林洁和陈柯屿十分认真地批改每一次线下作业、线上作业和期中考试试卷等。数学学院22级同学以及高年级转专业同学能在本次期末考试中取得优异的成绩，除了同学们自身的努力拼搏之外，我相信也离不开教学团队每一位成员的辛勤付出！在此我谨代表全体学生对肖贵云博士后、刘伟博士后、研究生助教林洁和陈柯屿表示衷心的感谢！

虽然22级同学在本次期末考试中取得了优异的成绩，但从最后两道压轴证明题来看，其实大家完成的不算太好。据我所知，绝大部分同学平时还是非常努力地学习高代白皮书和习题课教学视频的，但全程参与本学期高代II每周一题活动的同学并不多（小于10个），可见大家对挑战难题的兴趣并不大（^_^）。事实上，做难题不是学习的目的，它只是加深对概念和定理的理解以及提高解题和应用能力的一种手段。大家即将升入大二，后面会遇到很多很难的专业课，这些课程没有很多的习题进行练习，我想大家到时一定会怀恋大一时精读裴砖和白皮书的美好时光！

本学期是一个忙碌的学期。我的高代课程成为教育部教师工作司组织的中西部高校青年教师进修课程之一，本学期共有36位青年教师通过雨课堂直播全程参与了高代II的教学。同时，我的高代课程还荣获了2023年上海高校首批示范性本科课堂，复旦大学首批优质本科课程，复旦大学第三届教学创新大赛一等奖。去年底疫情特别严重的时期，共有20多位22级同学热情参与了教学创新大赛参赛教学视频的录制，每当回忆起这些，我内心都无比的感动，在此对22级同学的热情参与和大力支持表示诚挚的谢意！

最后，衷心感谢22级同学一年来的陪伴！祝愿大家身体棒棒哒，专业课学习更上一层楼！期待在校园的某个角落与大家偶遇重逢！