巴赫，艾舍尔，哥德尔
巴赫是卡农创作的大师。卡农的基本特点是一个单一的主题与它自己相伴而奏，由加入的各个声部分别唱出主题的副本，这些副本包括主题在音高上的平移， 时长上的拉伸与收缩，镜像，逆行等。但是无论是哪种副本，它都保持有与原主题完全相同的信息，也即从每个副本中都有足够的信息可以恢复出原主题。这种保存信息的转化称为“同构”。对于大部分的主题来说，这样的演奏是无法达到和谐的，因为卡农主题中的每个音符都同时扮演者两个甚至三四个角色，即每个音符既是旋律的一部分又是同一旋律在特定时刻的该音符的和声。通过选择特定的主题和特定的时间间隔来创作卡农（以及其它复调作品）的方法就是“对位法”。《音乐的奉献》是能代表巴赫在对位法方面最高成就的作品之一，在这里每一种使卡农复杂化的手法都被充分使用了，是人类智能的优美绝伦的创作。其中有一首极不寻常的卡农，它的主题在每一次结束时会悄然升高一个调（某种听觉错觉），然后重复自身，给人一种“无穷升高”的感觉。在这里我们发现了第一个有关“怪圈”的例子：当我们向上（或向下）穿过“某种层次系统”（这里的系统就是音乐的调性）中的一些层次时，会意外地发现我们正好回到了我们开始的地方。
把“怪圈”概念最优美最强烈地视觉化了的人是艾舍尔。在《瀑布》这幅作品中，有一个六步无终止下降圈。这样的视觉错觉最早是由罗杰·潘罗斯发现的，正是成为了游戏《纪念碑谷》的核心。同时我们发现，层次的数量在这里开始变得模糊，不像我们能在巴赫的音乐中数出主题的出现次数，一幅画中的层次数量有时是不容易确定的。艾舍尔的作品中有的怪圈显得“紧凑”，有的显得“松散”。在这样的错觉中，有的显得更“实在”，有的更“虚幻”。艾舍尔能够画出几十种半实在半虚幻的世界。在他的其它作品中，怪圈不仅表现在空间高度的视觉错觉上，也可以表现在“一只被画出的手画出了自己的手本身”，以及“一个拿反光球的手”。所谓“怪圈”，其中隐含的是一种无穷的概念：“循环”这一概念通过有穷的方式描述了无穷的过程。
巴赫和艾舍尔的怪圈作用于人们简单而古老的直观（音阶和楼梯）中，产生了有穷与无穷的冲突，使人有一种强烈的悖论感。我们直觉到这里涉及到了什么数学问题。哥德尔发现了这一直观在数学上的根源：说谎者悖论。小明说：“我在说谎”，问小明有没有说谎？如果他说谎了，那么他就没说谎；如果他没说谎，那么他就说谎了。这意味着，存在这样一个陈述，既不为真也不为假。这样一句话——“我在说谎”——的存在粗暴地违反了通常设定的“把陈述分为真与假”的二分法，它是一个仅仅只有一层的“怪圈”。这里的关键是，这句话陈述的对象是它自身，我们称之为“自指”。在日常生活中这样做通常是没有问题的，这缘于自然语言的模糊性。但当我们把这样的自指应用到数学（数论）上就会出现问题。当哥德尔有了这样的直觉以后，他构造出了一个自指的数学陈述，从而证明了著名的哥德尔不完全性定理：数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。哥德尔的构造的核心在于“编码”——只要数能够用来代表陈述，那么一个数论陈述就可以使关于一个数论陈述的了，因此也就可以是关于它本身的。只是哥德尔运用的陈述并不是“本句话是假的”，而是“本数论陈述是不可证的”。这里涉及到了“证明”的概念，一个陈述以及它的证明是存在于某个“公理系统”当中的。一个完美的公理系统应当满足：从公理出发推出的定理不能自相矛盾，这称为一致性；每个陈述都是可以从公理出发给出证明的，这称为完全性。哥德尔定理正是指出了如果一致性已经满足，那么完全性就不能同时满足：存在有一致的公理系统中的真的陈述，我们一定无法找到这个陈述的证明，因为我们将会像说谎者悖论一样发现“如果可证，那么它不可证；如果不可证，那么它可证”。可证性总是比真理性更弱的概念。反过来如果每个陈述都能被证明，这个系统就一定不一致，也就一定会出现自相矛盾的陈述。这颠覆了人们对公理系统的认识，是一场如相对论和量子力学一样的革命。我们今天或许不再对此感到惊讶，那只是由于我们的文化在经历了这一百年已经把这些观念潜移默化地吸收在内了。
说谎者悖论本质上可以用集合论的语言来表述：一个集合要么是不包含自身的（称为普通的），要么是包含自身的（称为自吞的），现在问一个由所有普通集合构成的集合是普通的还是自吞的？如果它是普通的，那么它作为普通集合当然被包括在内，因此是自吞的；如果它是自吞的，那么他有一个元素是它自己，而我们知道这个集合内的元素全都是普通集合，所以它是普通的。所以问题在于，我们对于“集合”的直观概念出问题了，这样的概念在数学上是不被允许的。但是概念不可能脱离直观，我们想要构造绕过悖论的但又与我们的直观相符的严格的集合论。
如果直接取缔自指以及一切允许产生的东西，是不是问题就解决了？这其实不容易，因为断定自指出现在什么地方是困难的。一个怪圈有可能要通过好几个分立的步骤才完全显示出来，例如把说谎者悖论扩展成两句话：“下一句话是假的”与“上一句话是真的”，那么这两句话中的任何一句单独拿出来都不构成悖论，只有当它们连在一起时悖论才会出现：如果第一句为真则第二句为假，而第二句为假又反过来推出第一句为假，矛盾；如果第一句为假则第二句为真，第二局为真又推出第一句为真。综上第一句话的真假性无法判定，第二句也是同理。就好像艾舍尔的画里每个局部都没有显示出问题，只有当整幅画一起看时才会出现矛盾。如果要取消自指，不仅要取消直接的自指，还必须取消所有像这样间接的自指，而这样的自指可能分布在文章的各个角落。在集合论中人们创造了“类型论”，确实消除了怪圈：我们要求最底层的集合只能包括对象而不能包括集合，高一层的集合只能包含低层级的集合，这样刚才提到的“包含所有普通集合的集合”就不再是一个合法的集合了。但这样的概念首先是不符合直观的，因为我们直观上不会给集合“分层”，当我们陷入一个“丑陋的理论”时往往说明哪里出了毛病。其次，把“类型论”应用到自然语言中将会是灾难性的，因为那样我们将无权讨论“我”，无权讨论这一理论本身，许多完美无缺的语言构造都将被视为“没有意义”。
哥德尔定理的出现是“把推理思维机械化”过程中的很大障碍，因为现在人们发现推理似乎不能简单地与公理系统等价了。极不灵活的无生命的机器逻辑与灵活富有生机的思维，似乎是矛盾的。但这种矛盾只是表面上的！谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里，或许认为这种界限存在本身就是愚蠢的。人工智能工作的奇异之处就是试图将一长串严格形式化的规则放在一起来产生灵活的效果。智能的灵活性来自大量的不同规则和规则的层次，因此那些直接或间接的“怪圈”无疑是智能的核心。
“对我来说，哥德尔、艾舍尔、巴赫只是某个奇妙的统一体在不同方向上的投影。我设法把把哥德尔、艾舍尔、巴赫这三块稀世珍宝嵌为一体，集异壁之大成。”
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