一种求前 \(k\) 小方案的神奇方法

同样适用于前 k 大

肯定对于每一个方案 \(x\) 都会有一个 \(val(x)\) 表示这种方案的权值。

我们定义对于一个集合的 \(val\) 是 \(val(S)=\min\limits_{x\in S}\{val(S)\}\)，首先需要找到一个集合 \(S\) 使得 \(val(S)\) 是最小的权值，对 \(S\) 定义一个 \(trans(S)\) 表示 \(S\) 能变换到的集合的集合，一般这个 \(trans\) 是一个固定的变换方法，这里需要满足 \(T \in trans(S) ,val(T)\ge val(S)\) 并且对于任意一个不是权值最小的方案 \(T\) 都存在且一个 \(S\) 使得 \(T \in trans(S)\)，这样能保证我们拓展到的集合权值是逐渐递增的，并且一个集合不会被拓展到多次。

考虑我们如何维护这个东西，我们用一个堆维护当前的已经被拓展到的方案，取出 \(val\) 最小的方案 \(S\)，然后将 \(trans(S)\) 中没有加进过堆的集合全部加入堆中，将 \(S\) 弹出堆，重复操作，不难发现我们第 \(i\) 弹出堆的元素一定是第 \(i\) 小，因为根据上面 \(trans\) 的定义是一定能变换到所有方案的，并且从最小方案到当前方案的路径上 \(val\) 是递增的，我们这样拓展 \(k\) 次一定能找到第 \(k\) 小的元素，我们设 \(sz\) 表示 \(trans\) 集合的大小，\(ds\) 表示从集合中找到最大值的复杂度，判断集合是否加进过堆的复杂度是 \(O(chk)\)，这样时间复杂度是 \(O(k\cdot sz\cdot ds\cdot (chk+\log(k\cdot sz)))\)，非常优秀。

题目：

P2048 [NOI2010] 超级钢琴

题意：给你一个长度为 \(n\) 序列 \(A\)，求前 \(k\) 大的长度属于 \([l,r]\) 的区间 \(a_i\) 和。

\(n,k \le 5 \times 10^5,-1000 \le a_i \le 1000\)。

发现区间不好做，先做前缀和转换成 \(\max(a_r-a_l)\)，发现对于每一个左端点 \(x\) 都有一个 \([l,r]\) 表示右端点能在的位置，我们用堆维护五元组 \(S=\{x,l,r,val,pos\}\) 表示左端点是 \(x\) ，右端点选的区间是 \([l,r]\) ，当右端点选 \(pos\) 时是最优的，权值为 \(val\) ，不难发现 \(trans(S)=\{\{x,l,pos-1,val_{l,pos-1},pos_{l,pos-1}\},\{x,pos+1,r,val_{pos+1,r},pos_{pos+1,r}\}\}\)，发现 \(pos\) 肯定是 \([l,r]\) 中 \(a_i\) 最大的 \(i\) ，这个可以直接用 \(st\) 表维护，\(val\) 也就很好算了，这里 \(sz=2,ds=O(\log n)\)，不会有重复集合加入堆，所以时间复杂度 \(O(k \log k\log n)\)。

异或粽子和上面那道题基本一样，就不详细说了。

P6230 [BalticOI 2019 Day2]奥运会

题意：有 \(n\) 个人，\(k\) 个比赛，第 \(i\) 个人在第 \(j\) 场比赛中的得分是 \(a_{i,j}\) 现在一支队伍要选 \(k\) 个人，这支队伍每一场比赛的得分为得分最高的那个人的得分，这支队伍的得分为所有比赛的得分的和，现在问你得分第 \(C\) 大的队伍的得分

\(n\le500,k \le6,C\le2000\)

蒟蒻瞎想的做法：

蒟蒻瞎想的做法

洛谷题解做法：

首先这个数据范围非常小，所以我们设的一些东西可以非常暴力。

P6646 [CCO2020] Shopping Plans

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