文章目录
- 树的定义
- 专业定义
- 通俗的定义
- 相关术语
- 树的分类
- 一般树
- 二叉树
- 二叉树的分类
- 二叉树的性质
- 对于第一条来说是显然的,i = 1时就是根节点。 i > 1时,比如节点7,它的双亲就是
•
⌊
7
/
2
⌋
\lfloor 7/2 \rfloor
⌊7/2⌋=3,节点9,它的双亲就是
⌊
9
/
2
⌋
\lfloor 9/2 \rfloor
⌊9/2⌋=4。• 第二条,比如节点6,因为2
×
\times
× 6 =12超过了节点总数10,所以节点6无左孩子,它是叶子节点。同样,而节点5,因为2
×
\times
ו 第三条,比如节点5,因为2
×
\times
× 5+1 =11,大于节点总数10,所以它无右孩子。而节点3,因为2
×
\times
×
- 森林
- 树的存储
- 链式存储
- 二叉树的操作
- 应用
树的定义
专业定义
- 有且只有一个称为根的节点
- 有若干个互不相交的子树,这些子树本身也是一颗树
通俗的定义
- 树是由节点和边组成
- 每个节点只有一个父节点但可以有多个子节点
- 但有一个节点例外,该节点没有父节点,此节点称为根节点
相关术语
- 节点
- 双亲节点
- 子节点
- 子孙
- 兄弟(同一个双亲节点)
- 堂兄弟(它们的双亲节点在同一层)
- 层次
- 从根节点到最底层节点的层数称为深度或者高度
- 根节点是第一层
- 叶子节点
- 没有子节点的节点
- 非终端节点
- 实际非叶子节点
- 度
- 子节点的个数
- 树的度
- 树中节点最大的度
树的分类
一般树
- 任意一个节点的子节点的个数都不受限制
二叉树
- 任意一个节点的子节点个数最多两个,且子节点的位置不可更改
二叉树的分类
- 一般二叉树
- 满二叉树
- 在不增加树层数的前提下,无法再添加一个节点的二叉树就是满二叉树
- 高度为h,且有
- 完全二叉树
- 如果只是删除了满二叉树最底层最右边的连续若干个节点,这样形成的二叉树就是完全二叉树
- 扩充二叉树(2-树)
- 仅存在度为2和0的节点
- 不存在度为1的节点
二叉树的性质
- 在二叉树的第i层上至多有个节点
- 深度为k的二叉树至多有个节点
- 对如何一棵二叉树T,如果其终端节点数为,度为2的节点数为,则 =
- 具有n个节点的完全二叉树的深度为+1(表示不大于x的最大整数)
- 如果对一棵有n个节点的完全二叉树,(其深度为+1)的节点按层序编号(从第1层到第+1层,每层从左到右),对任一节点i(1 i n)有:
- 如果i = 1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i >1,则其双亲是节点.
- 如果2i > n,则节点i无左孩子,(节点i为叶子节点);否则其左孩子是节点2i。
- 如果 2i+1 > n,则节点i无右孩子,否则其右孩子节点是2i+1.
对于第一条来说是显然的,i = 1时就是根节点。 i > 1时,比如节点7,它的双亲就是=3,节点9,它的双亲就是=4。
第二条,比如节点6,因为2 6 =12超过了节点总数10,所以节点6无左孩子,它是叶子节点。同样,而节点5,因为2
第三条,比如节点5,因为2 5+1 =11,大于节点总数10,所以它无右孩子。而节点3,因为2
森林
- n个互不相交的树的集合
树的存储
- 二叉树的存储
- 连续存储【完全二叉树】
- 优点
- 查找某个节点的父节点和子节点(包括判断有没有子节点)速度很快
- 缺点:
- 耗用内存空间过大
链式存储
- 一般树的存储
- 双亲表示法
- 求父节点方便
- 孩子表示法
- 求子节点方便
- 双亲孩子表示法
- 求父节点和子节点都很方便
- 二叉树表示法
- 把一个普通树转化成二叉树存储
- —>大概思路
- 设法保证任意一个节点的
- 左指针域指向他的第一个孩子
- 右指针域指向它的第一个兄弟
- 只要能满足此条件,就可以把一个普通树转化为二叉树
- 一个普通树转化成的二叉树一定没有右子树
- 具体方法:
- 加线。在所有兄弟节点之间加一条连线。
- 去线。对树中每个节点,只保留它与第一个孩子节点的连线,删除它与其他孩子节点之间的连线。
- 层次调整。以树的根节点为轴心,将整棵树顺时针旋转一定的角度,使其看起来像个二叉树。注意⚠️第一个孩子是二叉树节点的有孩子,兄弟转换过来的孩子是节点的右孩子。
- 把森林转化为二叉树
- 大概思路:
- 森林是由若干棵树组成的,所以完全可以理解为,森林中的每一棵树都是兄弟,可以安装兄弟的处理办法来操作。
- 森林的存储
- 先把森林转化为二叉树,再存储二叉树
二叉树的操作
- 遍历
- 先序遍历【先访问根节点】
- 先访问根节点
- 再先序访问左子树
- 再先序访问右子树
- 例子:
- 中序遍历【中间访问根节点】
- 中序遍历左子树
- 再访问根节点
- 再中序遍历右子树
- 例子:
- 后序遍历【最后访问根节点】
- 后序遍历左子树
- 后序遍历右子树
- 再访问根节点
- 例子:
- 已知两种遍历序列求原始序列
- 通过先序和中序 或者 中序和后序我们可以还原出原始的二叉树
- 但是通过先序和后序是无法还原出原始的二叉树的
- 换种说法:
- 只有通过先序和中序,或通过中序和后序才可以唯一确定一个二叉树
- 例子(1):
- 例子(2):
应用
- 树是数据库中数据组织一种重要形式
- 操作系统子父进程的关系本身就是一棵树
- 面向对象语言中类的继承关系本身就是一棵树
- 赫夫曼数