一、基本概念
1.1 定义
跳表(SkipList)：增加了向前指针的链表叫做指针。跳表全称叫做跳跃表，简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构，实质是一种可以进行二分查找的有序链表。
跳表在原有的有序链表上增加了多级索引，通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。
跳表=链表+多级索引结构
对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是O(n)。
那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的down表示down指针，指向下一级结点。
如果我们现在要查找某个结点，比如16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为13的结点时，我们发现下一个结点是17，那要查找的结点16肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。
这个时候，我们只需要再遍历2个结点，就可以找到值等于16的这个结点了。这样，原来如果要查找16，需要遍历10个结点，现在只需要遍历7个结点。
加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。
跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找16，只需要遍历6个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。
1.2 时间复杂度
假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第
k级索引结点的个数就是n/(2k)。按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是n/(2k)。
假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。通过上面的公式，我们可以得到n/(2h)=2，从而求得h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。那这个m的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说m=3，为什么是3呢？
假设我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于后面的结点z，所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点（包含y和z），所以，我们在K-1级索引中最多只需要遍历3个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
通过上面的分析，我们得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。
1.3 空间复杂度
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？
我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？我画了一个每三个结点抽一个的示意图，你可以看下。
从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引结点个数都除以3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。
通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。
二、插入和删除
实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)。
2.1 插入
跳表插入的时间复杂度为：O(logn)，支持高效的动态插入。
在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找的操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是对于跳表来说，查找的时间复杂度为O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度也是O(logn)，如下图所示：
2.2 删除
跳表的删除操作时间复杂度为：O(logn)，支持动态的删除。
在跳表中删除某个结点时，如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。
因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点（双向链表除外）。因此跳表的删除操作时间复杂度即为O(logn)。
2.3 跳表索引动态更新
当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。
我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这K级索引中。
三、实现步骤分析
3.1 思路
先讨论插入，我们先看理想的跳跃表结构，L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2，L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2，以此类推。从这里，我们可以想到，只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2，我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢？很简单，抛硬币就能解决了！假设元素X要插入跳跃表，很显然，L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢？我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2，所以我们有1/2的概率希望X插入L2层，那么抛一下硬币吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相对于L2层，我们还是希望1/2的概率插入，那么继续抛硬币吧！以此类推，元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样，我们能在跳跃表中插入一个元素了。
在此还是以上图为例：跳跃表的初试状态如下图，表中没有一个元素：
如果我们要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下图：
然后我们抛硬币，结果是正面，那么我们要将2插入到L2层，如下图:
继续抛硬币，结果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素33，跟元素2的插入一样，现在L1层插入33，如下图：
然后抛硬币，结果是反面，那么元素33的插入操作就结束了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下图：
然后抛硬币，结果是正面，那么L2层需要插入55，如下图：
继续抛硬币，结果又是正面，那么L3层需要插入55，如下图：
以此类推，我们插入剩余的元素。当然因为规模小，结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大，学过概率论的同学都知道，最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。
3.2 代码实现（一）
采用随机数生成的方式来获取新元素插入的最高层数。我们先估摸一下n的规模，然后定义跳跃表的最大层数maxLevel，那么底层，也就是第0层，元素是一定要插入的，概率为1；最高层，也就是maxLevel层，元素插入的概率为1/2^maxLevel。
我们先随机生成一个范围为0~2maxLevel-1的一个整数r。那么元素r小于2(maxLevel-1)的概率为1/2，r小于2(maxLevel-2)的概率为1/4，……，r小于2的概率为1/2(maxLevel-1)，r小于1的概率为1/2^maxLevel。
举例，假设maxLevel为4，那么r的范围为0~15，则r小于8的概率为1/2，r小于4的概率为1/4，r小于2的概率为1/8，r小于1的概率为1/16。1/16正好是maxLevel层插入元素的概率，1/8正好是maxLevel层插入的概率，以此类推。
通过这样的分析，我们可以先比较r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel层以下；否则再比较r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1层以下；再比较r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2层以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底层即可。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Random;
/**
* 实现跳跃表：能够对递增链表实现logN的查询时间
*/
public class SkipList<T> {
// 约束整个跳表的最大层级。2^6(2的6次方)
private static final int MAX_LEVEL = 1 << 6;
// 跳跃表数据结构
private SkipNode<T> top;
// 跳表默认层级数
private int level = 0;
// 用于产生随机数的Random对象
private Random random = new Random();
public SkipList() {
// 创建默认初始高度的跳跃表
this(4);
}
// 跳表的初始化
public SkipList(int level) {
this.level = level;
int i = level;
SkipNode<T> temp = null;
SkipNode<T> prev = null;
while (i-- != 0) {
/**
* 从下往上进行初始化。假设level为3，每个层级初始化一个值为null，分值为最小double的初始节点
* +---+
* | 3 |
* +---+
* +---+
* | 2 |
* +---+
* +---+
* | 1 |
* +---+
*/
temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE);
temp.down = prev;
prev = temp;
}
// 头节点
top = temp;
}
/**
* 产生节点的高度。使用抛硬币
*
* @return
*/
private int getRandomLevel() {
int lev = 1;
/**
* 核心：初始层级为1，那么此算法需要保证为2的概率为1/2，为3的概率为1/4，如此循环下去。。。
* 这样可以很好的保证第2层节点数量是第1层的两倍，第3层节点数量是第2层节点数量的两倍。
* 第n层节点数量是第n-1层节点数量的两倍。
* 因为如果每层节点数量过多，那么就跟单链表的查询一样了，影响性能。
*/
while (random.nextInt() % 2 == 0) {
lev++;
}
return lev > MAX_LEVEL ? MAX_LEVEL : lev;
}
/**
* 存放一个数据到跳表中
* @param score
* @param val
*/
public void put(double score, T val) {
// 若cur不为空，表示当前score值的节点存在
SkipNode<T> t = top, cur = null;
/**
* path存的是每一层需要插入新节点的前驱节点的集合。
* 假设对于三层层级的跳表来说，需要插入分值为4的，那么path里的最终数据为[3,3,1]。
* 第一个3代表是第一层的3，第二个3代表是第二层的3，第三个1代表是第三层的1，
* 代表新节点将要插在这些节点的后面，也可以说这些节点是新节点的前驱节点。
* level3 1
* |
* level2 1---->3---->6
* | | |
* level1 1->2->3->5->6
*/
List<SkipNode<T>> path = new ArrayList<>();
//当头节点不为空的时候，一直轮询
while (t != null) {
//若存在分值相同的，直接退出轮询。若分值相同，则会做覆盖处理
if (t.score == score) {
cur = t;
// 表示存在该值的点，表示需要更新该节点
break;
}
//如果右节点不存在，那么开始往下找，这一层也就结束，因此需要记录当前节点到path中
if (t.next == null) {
path.add(t);
//当down节点存在时，此次循环结束，继续往下找；否则退出轮询
if (t.down != null) {
t = t.down;
continue;
} else {
break;
}
}
//如果右节点的分数大于新节点分值，那么此层查找结束，继续查down节点，并记录当前层的当前节点
if (t.next.score > score) {
path.add(t);
if (t.down == null) {
break;
}
t = t.down;
} else
t = t.next;
}
/**
* 如果存在相同分值的，直接更改down这条竖线上所有数据就好。例如分值为3，那么改3这条竖线上所有的值就好
* level3 1
* |
* level2 1---->3---->6
* | | |
* level1 1->2->3->5->6
*/
if (cur != null) {
while (cur != null) {
cur.val = val;
cur = cur.down;
}
} else {
// 当前表中不存在score值的节点，需要从下到上插入
int lev = getRandomLevel();
/**
* 当翻硬币的层级大于当前层级时，需要更新top这一列的节点数量，同时需要在path中增加这些新的首节点。
* 当小于当前层级时，直接在
*/
if (lev > level) {
/**
* 假如翻硬币的层级为4，那么对于如下跳表
* level3 1
* |
* level2 1---->3---->6
* | | |
* level1 1->2->3->5->6
* -----变成------
* level4 null
* |
* level3 1
* |
* level2 1---->3---->6
* | | |
* level1 1->2->3->5->6
* 新的top头节点为level4的null
*/
SkipNode<T> temp = null;
// 前驱节点现在是top了
SkipNode<T> prev = top;
while (level++ != lev) {
temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE);
// 加到path的首部
path.add(0, temp);
temp.down = prev;
prev = temp;
}
// 头节点
top = temp;
// level长度增加到新的长度
level = lev;
}
/**
* 从后向前遍历path中的每一个节点，在其后面增加一个新的节点
* 注：从第一层开始往上添加。path中的数据是从最高层级添加下来的，
* 因此需要从最后一位取，代表是第一层的新节点的前驱节点
*/
SkipNode<T> downTemp = null, temp = null, prev = null;
//由于是从path中倒序取数，因此i>level-lev，
// 因为level-1到level-lev之间的举例为lev-1，就是翻硬币翻出来的层数
for (int i = level - 1; i >= level - lev; i--) {
temp = new SkipNode<T>(val, score);
prev = path.get(i);
temp.next = prev.next;
prev.next = temp;
temp.down = downTemp;
downTemp = temp;
}
}
}
/**
* 查找跳跃表中的一个值
*
* @param score
* @return
*/
public T get(double score) {
SkipNode<T> t = top;
while (t != null) {
if (t.score == score)
return t.val;
if (t.next == null) {
if (t.down != null) {
t = t.down;
continue;
} else
return null;
}
if (t.next.score > score) {
t = t.down;
} else
t = t.next;
}
return null;
}
/**
* 根据score的值来删除节点。
*
* @param score
*/
public void delete(double score) {
// 1,查找到节点列的第一个节点的前驱
SkipNode<T> t = top;
while (t != null) {
if (t.next == null) {
t = t.down;
continue;
}
if (t.next.score == score) {// 在这里说明找到了该删除的节点
t.next = t.next.next;
t = t.down;// 删除当前节点后，还需要继续查找之后需要删除的节点
continue;
}
if (t.next.score > score)
t = t.down;
else
t = t.next;
}
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
SkipNode<T> t = top, next = null;
while (t != null) {
next = t;
while (next != null) {
sb.append(next.score + " ");
next = next.next;
}
sb.append("\n");
t = t.down;
}
return sb.toString();
}
/**
* 跳跃表的节点的构成
*
* @param <E>
*/
private static class SkipNode<E> {
// 存储的数据
E val;
/**
* 跳跃表按照这个分数值进行从小到大排序。
* 注：通过引入分值，以分值大小进行排序，这样跳表中存储的数据可以是对象等复杂类型数据
*/
double score;
// next指针，down指针。一个指向右边元素，一个指向下层元素
SkipNode<E> next, down;
SkipNode(E val, double score) {
this.val = val;
this.score = score;
}
}
public static void main(String[] args) {
SkipList<String> list = new SkipList<>();
list.put(1.0, "1.0");
System.out.println(list);
list.put(2.0, "2.0");
System.out.println(list);
list.put(3.0, "3.0");
System.out.println(list);
list.put(4.0, "4.0");
System.out.println(list);
list.put(5.0, "5.0");
System.out.println(list);
list.delete(3.0);
System.out.println(list);
System.out.println("查找4.0" + list.get(4.0));
}
}
运行结果：
当然每次运行结果层数都可能会不一样，这也正是翻硬币的作用所在。
4.9E-324是double最小值，也就是我们初始化节点的默认value值。
3.3 代码实现（二）
// 跳表中存储的是正整数，并且存储的数据是不重复的
public class SkipList {
private static final int MAX_LEVEL = 16; // 结点的个数
private int levelCount = 1; // 索引的层级数
private Node head = new Node(); // 头结点
private Random random = new Random();
// 查找操作
public Node find(int value){
Node p = head;
for(int i = levelCount - 1; i >= 0; --i){
while(p.next[i] != null && p.next[i].data < value){
p = p.next[i];
}
}
if(p.next[0] != null && p.next[0].data == value){
return p.next[0]; // 找到，则返回原始链表中的结点
} else {
return null;
}
}
// 插入操作
public void insert(int value){
int level = randomLevel();
Node newNode = new Node();
newNode.data = value;
newNode.maxLevel = level; // 通过随机函数改变索引层的结点布置
Node update[] = new Node[level];
for(int i = 0; i < level; ++i){
update[i] = head;
}
Node p = head;
for(int i = level - 1; i >= 0; --i){
while(p.next[i] != null && p.next[i].data < value){
p = p.next[i];
}
update[i] = p;
}
for(int i = 0; i < level; ++i){
newNode.next[i] = update[i].next[i];
update[i].next[i] = newNode;
}
if(levelCount < level){
levelCount = level;
}
}
// 删除操作
public void delete(int value){
Node[] update = new Node[levelCount];
Node p = head;
for(int i = levelCount - 1; i >= 0; --i){
while(p.next[i] != null && p.next[i].data < value){
p = p.next[i];
}
update[i] = p;
}
if(p.next[0] != null && p.next[0].data == value){
for(int i = levelCount - 1; i >= 0; --i){
if(update[i].next[i] != null && update[i].next[i].data == value){
update[i].next[i] = update[i].next[i].next[i];
}
}
}
}
// 随机函数
private int randomLevel(){
int level = 1;
for(int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i){
if(random.nextInt() % 2 == 1){
level++;
}
}
return level;
}
// Node内部类
public class Node{
private int data = -1;
private Node next[] = new Node[MAX_LEVEL];
private int maxLevel = 0;
// 重写toString方法
@Override
public String toString(){
StringBuilder builder = new StringBuilder();
builder.append("{data:");
builder.append(data);
builder.append("; leves: ");
builder.append(maxLevel);
builder.append(" }");
return builder.toString();
}
}
// 显示跳表中的结点
public void display(){
Node p = head;
while(p.next[0] != null){
System.out.println(p.next[0] + " ");
p = p.next[0];
}
System.out.println();
}
}